(1.8)第八节函数的连续性(少学时简约型)介绍.ppt

定理 4 的应用问题 定理 4 要求直接函数 y = f( x )在某区间 I x 上单调。 一般情况下，给定直接函数 y = f( x )可能并不满足这一 条件，即给定函数在其定义区 间上未必总是单调的。 对于这种情形，可考虑将 I x 分割为若干个 f( x )的单调 区间，并在各单调区间上分别 应用定理 4 逐段确定 f( x )的 单调连续的反函数。 在各单调区间上逐段确定单调连续的反函数 例如，考虑函数 y = f( x )= cos x 的单值反函数，由 于该函数在其定义区间( -? ,+? )上并不单调，故考虑 将其定义区间分割为相应的单调区间进行考察： 考虑其主值区间 I x =[ 0 ,? ] . 因为 y = cos x 在[ 0 ,? ]内单调减小、连续。此时 由反函数存在定理可确定其在[ 0 ,? ]内存在单值反函 数 x = f - 1( y )= arccos y，由定理 4 又可确定其在对应的 值域区间 I y 内单调减小并连续，易求得 I y ={ y | y = f( x )= cos x ,x ? I x =[ 0 ,? ]}= [ -1,1 ]. 如此按单调区间逐段讨论，就可逐段写出 y = cos x 的单值反函数。 单调区间内的函数图形 对应反函数图形 已知余弦函数 y = cos x 在[ 0 ,? ]内连续 反余弦函数 y = arccos x 在[-1,1 ]内连续 已知指数函数 y = a x 在(- ?,+ ? )内连续 已知对数函数 y = loga x 在( 0,+ ? )内连续 　　根据定理 4，由三角函数与指数函数的连续性便可 得到反三角函数与对数函数的连续性。 复合函数的连续性与复合函数取极限问题有密切 联系，已讨论过的复合函数取极限问题的结果如下： 设函数 u = ?( x )当 x → x 0 时极限存在且等于a ，即 而函数 y = f( u )在点 a 处有定义，且 那么复合函数 f[?( x )]当 x → x 0 时 的极限也存在，且等于 f( a )，即 由函数连续性的定义容易看出，将定理中的 a 换成 ?( x 0 )便可得复合函数的连续性命题的相应结果。 (3) 复合函数的连续性 复合函数取极限定理 定理 5 复合函数连续性定理 设函数 u = ?( x )在 x = x 0 连续，且 ?( x 0 )= u 0，而 函数 y = f( u )在 u = u 0 连续，那么复合函数 y = f[?( x )] 在 x = x 0 也连续。 例：讨论函数 的连续性。 函数 y = sin 1/x 可看成是由函数 y = sinu 及 u = 1/x 复合而成的。函数 y = sin u 当 u?(-?,+ ? )时是连续的, 函数 u = 1/x 当 x?(-?, 0 )∪( 0,+ ? ) 时是连续的。 由定理5，函数 y = sin 1/x 在 x?(-?, 0 )∪( 0,+ ? )内连续。 通过复合函数的连续性质进行考察 任取 x 0 ?( - ? ,+ ? )，则在 x 0 处有 0 ?| ? y |?| cos( x 0 + ? x )- cos x 0| 所以当 ? x → 0 时有，? y → 0 ， 由定义知，函数 y = cos x 在点 x 0 处 连续。由点 x 0 的任意性，y = cos x 在区间( - ? ,+ ? )内连续。 按连续性定义 1 进行证明 例：证明函数 y = a x( a ? 1 )在区间( - ? ,+ ? )内连续。 要证函数 y = a x 在开区间( - ? ,+ ? )内连续就 是要证其在开区间( - ? ,+ ? )内的任一点连续，即对 ?? x 0( - ? ,+ ? )，要证在 x 0 处有 任取 x 0 ?( - ? ,+ ? )，则在 x 0 处有 按连续性定义 2 进行证明 (3) 证明函数在闭区间上连续 例：证明函数 在区间[ 0,1 ]上连续。 由定义，证明函数在闭区间上连续应分两步进 行，即先证函数 f( x )在开区间( 0 ,1 )内连续，再证其