1.3.3函数的最大(小)值与导数》介绍.ppt

1．3.3　函数的最大(小)值与导数 【课标要求】 1．能够区分极值与最值两个不同的概念． 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 【核心扫描】 1．利用导数求给定区间上函数的最大值与最小值．(重点) 2．常与函数的单调性、参数的讨论等知识结合命题． 自学导引 1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得． 想一想：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？ 提示　一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ； (2)将函数y＝f(x)的 与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 想一想：极值和最值的区别与联系？ 提示　(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． (3)若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值． (4)开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值的几种情况 图(1)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值； 图(2)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b) 上有最小值无最大值； 图(3)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b) 上既无最大值也无最小值； 图(4)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值． 题型一　求函数在闭区间上的最值 【例1】 求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． [思路探索] 先求f′(x)，再令f′(x)＝0得到相应的x的值，通过列表，确定出极值点，求极值与端点值，从而比较大小确定最值． 解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： ∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0， ∴f′(x)在[－1,1]上为增函数． 故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2 求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论． 题型二　含参数的最值问题 【例2】 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)． (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值． [思路探索] ①先对函数求导，由f′(1)＝3得a的值及切线方程；②根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值． 由于参数的取值范围不同，会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，分类时一般从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定． 题型三　函数最值的综合应用 【例3】 已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)． (1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)