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偏微分方程有限差分法简介 一 建立离散方程的方法 (Discretization of the heat equation) 1. 有限差分法(finite-difference methods) 1)、网格划分(Nodal network/grid/mesh ) 把物体分割为有限数目的网格单元，将微分方程变换为差分方程，通过数值计算直接求取各网格单元节点的温度。 2)、节点(Nodes) 网格线的交点 3)、基本原理(fundamental theory ) 利用有限差商代替微商，从而将微分方程转化为差分。 u(x,t) can be determined from initial conditions u(x,0) = f(x) at t = 0 . Ex . Accuracy and false diffusion Consider the problem below. If there is no false diffusion, the temperature will be exactly 100 oC everywhere above the diagonal and exactly 0 oC everywhere below the diagonal. False diffusion will occur due to the oblique flow direction and non-zero gradient of temperature in the direction normal to the flow. Accuracy and false diffusion Seismogram Dispersion * * * * * * 例如： * * 2、向后差分式(backward-difference) 1).一阶截断公式 2).中心差分式(central-difference) 属于二阶截断公式，比一阶公式精确。 * 3). 二阶导数的中心差分(Central difference) 同理 * 二、 热传导问题的数值计算 1、二维稳态导热 式中 表示节点(i, j)所在网格单元的内热源强度。 若无内热源，且网格划分均匀，则 * 2、边界节点方程式的建立(Boundary node equations) 第一类边界条件： 边界节点温度已知； 第二类或第三类边界条件：热平衡关系 边界节点方程。 如图4-3： 第三类边界条件： 边界节点温度离散方程 如下： * 3、 节点方程组的求解 设有n个未知节点，则可得n个线性方程式 * 4、 非稳态导热问题的数值计算 1）. 计算格式 * * 或 上式称为显式差分格式。 整理得 * 2）. 稳定性条件(Stability Criterion) 为了加快计算的进程而调整?x和?? 的大小时，必须遵守使上式中tik的系数 大于或至少等于零。即 二维非稳态导热均匀网格的显式差分格式，稳定性条件为： * * 3）. 隐式差分格式（The implicit method) （Backward difference） （Central difference） Note that：The implicit formulation is unconditionally stable(隐式差分格式是无条件稳定的) 代入微分方程得， * t = 0 t = t1 t = t2 t = t3 三、 Pure Convection问题的数值计算 Hot fluid Cold fluid T = 100oC T = 0oC Diffusion set to zero k=0 8 x 8 64 x 64 First-order Upwind Second-order Upwind * * * *