留数计算记积分资料.ppt

-*- 练习. -*- 2．计算积分 解：因为在C内 有二阶级点 所以　　　　 -*- 3. 求积分 解： -*- 4．利用留数求积分 解： 被积函数分母 有根 当 时4个根在上半平面，故 * * * * * -*- 1. 留数 1) 定义： 回顾 -*- 2) 无穷远点的留数 也就是说 等于 在 的去心邻域的罗朗展开式中 项系数的负值． -*- 2). 留数定理 -*- 3) 留数和定理 -*- 求函数在奇点 z0 处的留数即求它在以z0为中心的圆环域 内洛朗级数中 项的系数即可. 但如果知道奇点 的类型, 对求留数可能更有利. 如果z0是f(z)的可去奇点, 则Res[f(z),z0]=0, 如果z0是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将其按洛朗级数展开.或计算积分 如果z0是极点, 则有一些对求 有用的规则 -*- 4). 留数计算规则 -*- -*- §3 用留数定理计算实积分 1.计算 型积分 2.计算 型积分 -*- 留数定理的应用--积分的计算: 在数学分析中，以及许多实际问题中，往 往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而 这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等 函数表示出来；例如 或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如 -*- （2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方 法，我们主要通过例子进行讨论； 利用留数计算积分的特点： （1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的 问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的 留数，从而大大化简了计算； -*- 1.计算 型积分. 方法 令 为 的有理函数. 当 经历变程 时,z沿圆周|z|=1的正方向绕 行一周.因此有 -*- 其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中 zk (k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点. -*- 例1. 解： -*- -*- -*- 例2. ? 计算积分 2.计算 型积分 首先，这是一个广义积分，它显然是收敛的. 解： 作以O为心、r为半径的上半圆盘. 我们应用留数定理来计算它. 考虑函数 这个函数有两个二阶极点， 在上半平面上的一个是 z=i. -*- 设上半圆盘边界为Cr. 取 r1，那么 z=i 包含在Cr的 区域内. 沿 Cr 取 f (z)的积分， 得 -*- 现在估计积分 我们有 因此 令 ,就得到 从而 -*- 定理 为互质多项式,且满足: 为有理分式,其中 则有 积分有意义 -*- -*- 计算积分 解： 共有四个一阶极点为±ai,±bi, 其中只有ai,bi, 例3. 这里 在上半平面内. -*- 附：典型例题 例1. 解： -*- -*- 例2. -*- 解: 或 -*- 或 -*- 法三：留数的定义 -*- 例3. 解： -*- -*- 解： 共有四个一阶极点 例4 计算积分 -*- 其中只有z0,z1在上半平面上，于是： * * * * *