Ch9排队论资料.ppt

9.3 单服务台模型 9.3.2有限队列模型 如果系统的最大容量为N，对于单服务台的情形，排队等待的顾客最多为N-1，在某一时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。系统状态转移如图9-7 0 1 2 N-1 N … P0 P1 P2 图9－7 1.系统状态概率的计算 9.3 单服务台模型 由状态转移图9-7，建立系统概率平衡方程如下 (9－10) … (9－11) (9－12) 9.3 单服务台模型 (9－13) (9－14) 9.3 单服务台模型 根据式9－11和9－12可以导出系统的各个指标，对于ρ≠1，有 (9-15) (1)系统中的平均顾客数L 9.3 单服务台模型 (9－16) (2)队列中的平均顾客数Lq (9－17) λe 称为有效到达率，即单位时间内到达并能进入队列的平均顾客数。ρe 称为有效服务强度 9.3 单服务台模型 (3)顾客在系统中的平均逗留时间W (9-18) (4)顾客在队列中的平均逗留时间 (9-19) 9.3 单服务台模型 【例9－3】咨询中心有一位咨询工作人员，每次只能咨询一人，另外有4个座位供前来咨询的人等候。某人到来发现没有座位，就不再等待而离去。前来咨询者到达服从泊松流，到达的平均速率为4人/小时，咨询人员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从负指数分布。求： (1)咨询者到达不用等待就可咨询的概率 (2)咨询中心的平均人数以及等待咨询的平均人数 (3)咨询者来咨询中心一次平均花费的时间以及平均等待的时间 (4)咨询者到达后因客满而离去的概率 (5)增加一个座位可以减少的顾客损失率 【解】N=4+1=5，λ=4人/小时，μ=6人/小时，ρ=2/3 (1) 9.3 单服务台模型 (2) (3) (4) 因客满而离去的概率为0.048 (5) 当N=6时 9.3 单服务台模型 即增加一个座位可以减少顾客损失率1.6% 9.3.3 有限顾客源模型 设顾客总数为m。当顾客需要服务时，就进入队列等待；服务完毕后，重新回到顾客源中，如此循环往复。由于顾客源的数量有限，因此队列的长度也是有限的，并且队列的长度必定小于顾客源总数 。 有限源系统顾客的平均到达速率： 9.3 单服务台模型 0 1 2 n-1 n … n+1 m-1 m … 图9-8 有限顾客源模型状态转移图 状态转移图如图9-8 由图9-8得到系统稳态概率平衡方程组 1．系统状态概率的计算 (9－20) 9.3 单服务台模型 用递推方法解该方程组，得到 (9－21) (9－22) 2 有限源系统的运行指标 在求得系统中出现顾客数的概率后，即可求得系统的运行指标(推导过程略) 9.3 单服务台模型 (9－23) (9－24) (9－25) (9－26) 在机器维修问题中，L是待检修及正在检修的平均机器数，而 表示正常运行的平均机器数。 9.3 单服务台模型 【例9-4】某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天（8小时）平均连续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求： (1)修理工忙的概率(记为Pb)； (2)五台机器都出故障的概率； (3)出故障的平均台数； (4)平均停工时间； (5)平均等待修理时间； (6)评价这个系统的运行情况 【解】一天为一个单位时间。认为一天内来修理的机器数平均为4台，修理工一天平均修理机器数为5台。m=5，λ=4，μ=5，ρ=0.8 9.3 单服务台模型 （6）由计算结果看出，系统的修理工几乎没有空闲时间，机器的停工时间是平均运行时间的三倍，系统的服务效率很低 9.3 单服务台模型 作业：教材习题 9.1～9.6 下一节： 9.4多服务台模型 9.4多服务台模型[M/M/s] 9.4多服务台模型 9.4.1基本模型 规定各服务台工作相互独立且服务速率相同 系统的平均服务速率为 sμ 令 0 1 2 s-1 s … s+1 n-1 n … 图9-9 基本模型状态转移图 系统的状态转移图9-9。 9.4多服务台模型 稳态概率方程 (9－27) 由 解得： (9－28) (9－29) 9.4多服务台模型 顾客需要等待 (系统已有s个顾客)的概率 与单服务台系统的方法类似，有 (9－32) (9－31) (9－33) (9－30) 9.4多服务台模型 【例9-5】银行办理个人储蓄业务有三个窗口，顾客到达服从泊松流，到达速率为0.9人／分，办理业务时间服从负指数分布，每个窗口的平