高等代数 数环和数域.ppt

1. 学会发现和提出数学问题 发现问题、提出问题的一些套路 1. 学会反过来思考问题 学完一个命题后，追问自己：这个命题将条件作为结论，将结论作为条件能否成立？ 案例1：（初中） 平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。 你是否有追问：命题“ 两直线平行，内错角相等”是否成立？ 2. 学会一般化问题 当我们学完一个命题后，追问自己：命题能否作一般性推广？ 3. 学会四则运算生成新问题 一个命题若对于加法成立，追问自己：对于减法、乘法、除法是否同样成立？ 案例3：2+7=9（小学案例） * 第一章 多项式 * * * 数环和数域 认识 2+7=9 认识 2+7=9 认识 2+7=9 认识 2+7=9 认识 2+7=9 回顾一下： 对数式中数2,7，从奇偶性角度来探索…… 尤其得到了奇偶分析方法，并尝试运用此方法解决一些趣题。 认识 2+7=9 认识 2+7=9 这个问题与著名的哥德巴赫猜想是相关的。 哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。 1966年陈景润证明了1+2成立，即： 任一充分大的偶数都可以表示成二个质数的和，或是一个质数与两个质数积的和。 认识 2+7=9 一个简单的算式：2+7=？， 如果不急着丢弃它， 而是转换角度，逐个方向去尝试探索 角度1：奇偶数→运算→奇偶分析 角度2：数的构成（和）－质数和→著名猜想 收获远远胜过一道题、一个答案。 认识 2+7=9 再回首，感知你的拥有： 复杂的即是简单的 养成从多个角度认识一个问题的意识； 学会“反过来思考问题”（简记为1即2）的意识； 学会“一般化问题”（简记为1即n）的意识 学会利用“四则运算生成新问题”（简记为1即4）的意识； …… §1.5 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。 例如 在有理数范围内不能分解，在实数范围内 就可以分解。 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中 代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。 （即运算是否封闭）。 运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。 一、数环 设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 ，总有 则称S是一个数环。 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 C都是数环。 例如： 1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 问题： 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令 定义1：