高数下【6.1-6.2节】一阶微分方程.ppt

P163 5(1)(2)(4) , 6, 7 作业 ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . * P321.例2 dy=2x(y+3)dx满足y(0)=2的特解 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程 第六章 — 积分问题 — 微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第六章 引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 制动时 常微分方程 偏微分方程 含未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程. 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. （初值条件或定解条件) 的阶数相同. 特解 引例2 引例1 通解: 特解: 微分方程的解 — 不含任意常数的解. 初始条件 例1. 验证函数 是微分方程 的通解, 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 y = – x 及 y = C 内容小结 微分方程的概念 微分方程; 定解条件; 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 解; 阶; 通解; 特解 一阶微分方程 第二节 第六章 一、可分离变量的方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 两边积分, 得 ① ② 则有 称②为方程①的隐式通解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 转化 解分离变量方程 一、可分离变量方程 例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 二、齐次微分方程 形如 的一阶微分方程叫做齐次微分方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 例3. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 此处 例4. 解微分方程 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. P150 1, 3(2), 4, 5 P162 1(2)(4)(6)(8) , 2(1)-(3) 作业 三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为一阶线性非齐次方程 . 称为一阶线性齐次方程 ; 例如 线性齐次的; 非线性的. 线性非齐次的; 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 一阶线性微分方程的解法 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 非齐次方程 -----公式 例5. 解方程 解: 先解 即