循环矩阵的探讨剖析.doc

四川师范大学本科毕业论文 循环矩阵的探讨 学生姓名 王云肖 院系名称 数学与软件科学学院 专业名称 数学与应用数学 班 级 2011级 3 班 学 号 2011060344 指导教师 柏明强 完成时间 2015年5月5日 循环矩阵的探讨 数学与应用数学专业 学生姓名：王云肖 指导教师：柏明强 摘要: 本文主要介绍了一类特殊的矩阵--循环矩阵.介绍了循环矩阵的概念,代数运算性质,特征值和特征向量的概念以及求法,对角化问题. 关键词: 循环矩阵;特征值;特征向量;对角化. The discussion of cyclic matrix Specialization: Mathematics and Applied Mathematics Undergraduate: Wang Yunxiao Supervisor: Bai Mingqiang Abstract ： This article mainly introduce a special kind of matrix - cyclic matrix. It introduces the concept , the algebraic operation properties, the concept of eigenvalue and eigenvector and the calculation method ,the problemof diagonalization of cyclic matrix. Key words: cyclic matrix, eigenvalue, eigenvector, diagonalizable.  目录 摘要: I 1.循环矩阵的产生背景 1 2.循环矩阵的代数性质 1 2.1循环矩阵的概念 1 2.2循环矩阵的运算性质 2 3.循环矩阵的特征值与特征向量 5 3.1循环矩阵特征值与特征向量的概念以及性质 5 3.2循环矩阵特征值与特征向量的一般求法 6 3.2.1 基本计算法 6 3.2.2 特殊法 6 4.循环矩阵对角化 7 4.1循环矩阵可角化的概念以及性质 7 4.2对角化的应用 8 5.结束语 9 参考文献： 9 1.循环矩阵的产生背景 循环矩阵的概念是T Muir在1885年最先提出的, 一直到1950到1955年, Good等才对其逆, 行列式和特征值进行研究. 循环矩阵是一种很重要的矩阵,在很多领域中都有广泛的应用.如在数理统计,编码理论,理论物理,固态物理,数学图象处理,分子轨道理论等方面应用很广.循环矩阵逆特征值问题,在力学振动系统设计,分子结构理论,线性多变量控制理论及数值分析等领域中也是有很广泛的应用的.因为循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一种特殊矩阵,具有很好的性质和结构,所以对于循环矩阵的研究非常活跃. 和一般矩阵相比,循环矩阵具有和其相似的性质,比如秩, 特征值, 特征向量等都是一般矩阵性质的重要部分.对于循环矩阵的研究愈加深入同时也加深了对一般矩阵的认识,同时对于一般矩阵的性质探索也有一定帮助. 从1950年提出了循环矩阵的概念以来,尤其是近年来,循环矩阵类已然成为了矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃的和重要的研究方向,许多数学工作者对它进行了大量探索,并且得出很多成果.各种新的循环矩阵概念被提出,已有十几种.如向后循环矩阵,循环布尔矩阵, r-循环矩阵,g-循环矩阵,块循环矩阵等. 迄今为止,有关循环矩阵的理论知识还不是很完善,但是在实际生活中循环矩阵的应用还是很广泛的,因此数学工作者对循环矩阵的探索仍在进行着.其中对于它的逆矩阵求法是许多国家数的学工作者研究的一个重要方向.但是对于循环矩阵的代数性质,特征值,特征向量以及对角化问题研究的还不是很多,而对于这类特殊的矩阵——循环矩阵来说这是基本的. 2.循环矩阵的代数性质 2.1循环矩阵的概念 定义1 具有如下形式的n阶方阵的C称为一个n阶循环矩阵, 又称轮换矩阵, C=, 显然, C由其首行元素唯一确定, 简记为C=circ(a0,a1,…,an(1). 特别地, n阶循环矩阵K= circ(0,1,0,…,0)=, 称为单位循环矩阵或循环置换矩阵或移位矩阵. 性质1 C=a0K0+ a1+a2+…+an(1. 性质2[1] 设f (x)= a0+a1x+…+an(1x n(1, 则C=f (K). 2.2循环矩阵的运算性质 性质3 设A, B是两个循环矩阵 证明 设循环矩阵A, B为 A=, B=, 则A+