压缩感知中测量矩阵的优化研究剖析.docx

文献阅读报告 课程名称 矩阵分析与线性空间 任课老师 王霞 邓科 题目 压缩感知中测量矩阵的优化研究 研究生姓名 高蕊 董晨霓 尚青 学 号 3115091014 3115313014 3115091034 目 录 TOC \o 1-3 \h \u  HYPERLINK \l _Toc13521 一、压缩感知理论  PAGEREF _Toc13521 2  HYPERLINK \l _Toc13774 二、常用测量矩阵  PAGEREF _Toc13774 4  HYPERLINK \l _Toc8171 2.1 随机高斯测量矩阵  PAGEREF _Toc8171 4  HYPERLINK \l _Toc18506 2.2 随机贝努利测量矩阵  PAGEREF _Toc18506 4  HYPERLINK \l _Toc20791 2.3 部分哈达玛测量矩阵  PAGEREF _Toc20791 5  HYPERLINK \l _Toc19909 2.4 部分正交测量矩阵  PAGEREF _Toc19909 5  HYPERLINK \l _Toc31178 2.5 稀疏随机测量矩阵  PAGEREF _Toc31178 5  HYPERLINK \l _Toc6560 三、测量矩阵的设计与优化  PAGEREF _Toc6560 5  HYPERLINK \l _Toc29592 3.1 基于近似QR分解的测量矩阵优化方法  PAGEREF _Toc29592 5  HYPERLINK \l _Toc2485 3.2 基于奇异值分解(SVD)的测量矩阵优化方法  PAGEREF _Toc2485 6  HYPERLINK \l _Toc10753 3.3 基于特征值分解的测量矩阵优化方法  PAGEREF _Toc10753 7  HYPERLINK \l _Toc29985 3.4 基于相关性梯度迭代的测量矩阵优化方法  PAGEREF _Toc29985 9  HYPERLINK \l _Toc21479 四、总结  PAGEREF _Toc21479 12  HYPERLINK \l _Toc27284 参考文献  PAGEREF _Toc27284 13  压缩感知理论 由采样定理可知，如果想要从离散的数字信号中无失真地恢复出原始连续信号，则采样频率必须大于或等于原始信号频率的两倍。但是，随着人们对信息需求量的不断增加，奈奎斯特采样率过高，导致采样信息太大，而且先采样后压缩又导致了存储空间的浪费。2006年,Donoho和Candes等人提出了一种全新的信号处理理???——压缩感知理论。压缩感知理论是利用信号的稀疏性或可压缩性，通过低维空间采样数据的非相关性测量来实现高维信号的近似或精确重构。在压缩感知的理论下，信号处理可以以远远低于奈奎斯特采样率的频率进行采样，同时又能保留信号的有用信息，继而可以完全恢复信息。 压缩感知的核心思想是在已知信号本身是稀疏的或可以系数表示的前提下，通过设计一种测量矩阵将原始的高维信号投影到一个低维的空间上，然后求解一个非线性优化问题就可以从少量的测量值中较高概率地恢复出原始信号。因此，压缩感知理论包含了三个主要方面：稀疏表示、非相关测量、非线性优化重建。 设长度为N的离散实值信号x，在某种变换域下，可以用一组基的线性组合表示成： 或者 其中，s是x在域中的变换向量，是的变换矩阵。当信号x在基上只有个KN个非零系数，则称是x的K稀疏基。 信号x经过一个大小为的测量矩阵线性投影，得到长度为的测量值y： （1.1） 其中为测量矩阵，大小为。 若x是可压缩的，则上式可表示为： 其中，大小为，是稀疏基。 由于式（1.1）中，，方程个数远比未知数的个数少，所以求解这个方程是十分困难的。要想使式（1.1）有确定的解，则必须满足等距约束性条件（Restricted Isometry Property，RIP）： 对于任意具有严格K稀疏的向量s，矩阵满足如下不等式 其中，为等距约束常数，且。 然而，实际中要直接验证矩阵是否满足RIP条件是十分困难的