第九节离散型随机变量的均值与方差教材.doc

第九节　离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考 什 么 怎 么 考 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2.能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 3.利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义. 1.离散型随机变量及其分布列、均值和方差是高考考查的一大热点，每年均有解答题出现，难度中等偏上，如2012年安徽T17，江苏T22，浙江T19等．2.正态密度曲线一般以选择或填空的形式考查. [归纳·知识整合] 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． [探究]　1.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？ 提示：随机变量的均值、方差是一个常数．样本的均值、方差是一个变量．随着样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 X X服从两点分布 X～B(n，p) E(X) p(p为成功概率) np D(X) P(1－p) np(1－p) 4.正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e，x(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 曲线位于x轴上方与x轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 曲线在x＝μ处达到峰值； 曲线与x轴之间的面积为1； 当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； 当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 5．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足 P(aX≤b)＝ φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)． (2)正态分布的三个常用数据 P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.682_6； P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.954_4； P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.997_4. [探究]　2.参数μ、σ在正态分布中的实际意义是什么？ 提示：μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差． [自测·牛刀小试] 1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的期望是(　　) A．0.2　　　　　　　　B．0.8 C．1 D．0 解析：选B　因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2. 所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 2．(2012·深圳检测)已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于(　　) A．6 B．9 C．3 D．4 解析：选A　E(X)＝3×＋6×＋9×＝6. D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6. 3．已知随机变量ξ～B(100,0.2)，那么D(4ξ＋3)的值为(　　) A．64 B．256 C．259 D．320 解析：选B　由ξ～B(100,0.2)知随机变量ξ服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(ξ)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4ξ＋3)＝42D(ξ)＝16×16＝256. 4．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξc＋1)＝P(ξc－1)，则c＝________. 解析：ξ～N(2,9)，P(ξc＋1)＝P(ξ3－c)， 又P(ξc＋1)＝P(ξc－1)，c－1＝3－c，解得c＝2. 答案：2 5．随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a、b、c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________. 解析：由题意得2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，c－a＝，将以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故D(ξ)＝. 答案： 离散型随机变量的均值与方差 [例1]　(2012·江苏高考)设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)． [自主解答]　(1)若两条棱相交