第三章积分及其应用讲稿教材.doc

第三章 积分及其应用 §3( 1 定积分的概念 导入：(10分钟)我们来讨论平面图形的面积计算这一实际问题. 在初等数学中，我们已掌握了圆、三角形、梯形等规则几何图形面积的计算方法，但一般平面图形的面积如何来计算呢？根据面积的可加性，求任何平面图形的面积问题可以归结为求下述曲边梯形的面积问题. 一、曲边梯形的面积 设y=f（x）在区间［a，b］上非负、连续.由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f（x）所围成的四边形ABCD，如图3??1所示，称为曲边梯形，其中曲线弧段={（x，f（x））｜x∈［a,b］}称为曲边. 图3??1 我们注意到，一方面曲边梯形在底边各点处的高f（x）是变化的量，但另一方面若f（x）在［a，b］上连续，则在很小的一段区间上f（x）变化很小，且当区间长度无限缩小时，f（x）的变化也无限减小，这说明总体上高是变化的，但局部上高又近似于不变，因此我们采用如下方法计算该曲边梯形的面积： （1）分划：取分点xi∈［a，b］（i=0，1，2，…，n）： a=x0＜x1＜x2＜…＜xi??1＜xi＜…＜xn=b， 将底边对应区间［a，b］分成n个小区间［xi??1，xi］，其长度依次记为Δxi=xi??xi??1（i=1，2，…，n），相应地，整个大曲边梯形被分割成n个小曲边梯形. （2）作近似：在［xi??1，xi］上任取一点ξi，并以底为［xi??1，xi］、高为f（ξi）的矩形近似代替第i个小曲边梯形（i=1，2，…，n），从而整个大曲边梯形面积的近似值为Δxi.显然当区间分划愈细，则其精度愈高. （3）取极限：记λ=,令λ→0，此即意味着对区间［a，b］的分划无限加密（此时必有n→∞）.于是，我们便将其极限值 定义为曲边梯形的面积. 在实践中还有许多其他量可类似表示.于是，从这些量出发我们便抽象出一个重要概念——定积分. 二、定积分的概念 定义1 设函数f（x）在区间［a，b］上有界，今取n+1个分点： a=x0＜x1＜x2＜…＜xi??1＜xi＜…＜xn??1＜xn=b， 将［a，b］分成n个小区间［xi??1，xi］，其长度记为Δxi=xi??xi??1（i=1，2，…，n），并令λ=, 若ξi∈［xi??1,xi］（i=1，2，…，n），极限 (ξi)Δxi 存在，且该极限值与对区间［a，b］的分划及ξi的取法无关，则称f（x）在［a，b］上可积，且称该极限值为f（x）在［a，b］上的定积分，记为，其中,f（x）称为被积函数，x称为积分变量，a和b分别称为积分下限和上限，［a，b］称为积分区间，（ξi）Δxi称为积分和. 由定积分的定义易知： （1）当被积函数在积分区间上恒等于1时，其积分值即为积分区间长度，即 =b??a； （2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记号无关，即 ==. 由上面定义可知，图3??1中曲边梯形的面积可记为，从而可知，若f（x）∈C（［a，b］），则当在区间［a，b］上f（x）≥0时，在几何上表示由曲线y=f（x）、直线x=a和x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.此外，若在区间［a，b］上f（x）≤0，则由曲线y=f（x）、直线x=a和x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴下方，此时由定义可知在几何上表示该曲边梯形面积的负值.进一步，若f（x）在［a，b］上变号，则便等于由曲线y=f（x）、直线x=a和x=b及x轴所围图形中x轴上方的图形面积之和减去x轴下方的图形面积之和.总之，若f（x）∈C（［a，b］），则定积分的几何意义是表示由x轴、曲线y=f（x）、直线x=a与x=b所围成的各部分图形面积的代数和，其中位于x轴上方的图形面积取正号，位于x轴下方的图形面积取负号. 为方便起见，我们用R（［a，b］）表示区间［a，b］上所有可积函数的集合，可以证明： （1）若f（x）∈C（［a，b］），则f（x）∈R（［a，b］）； （2）若f（x）为［a，b］上的单调有界函数，则f（x）∈R（［a，b］）； （3）若f（x）在［a，b］上仅有有限个第一类间断点，则f（x）∈R（［a，b］）. 定积分的概念要求对于区间［a，b］的任意分划及ξi∈［xi??1，xi］（i=1，2，…，n），极限均存在且值相同，才能说明f（x）∈R（［a，b］），且 =. 但是，当f（x）属于上面三类可积函数之一时，我们可作特殊分划及取特定的ξi∈［xi??1，xi］（i=1，2，…，n）去构造积分和而求得定积分的值. 例1 利用定义计算定积分. 解 因为被积函数f（x）=x2在积分区间［0，1］上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间［0，1］的分划点ξi的取法无关.因此，为了便于计算，不妨把区间［0，1］等分成n份，分点为xi=，i=1，2，…，n??1.这样，每个小区