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学案15 导数的综合应用
导学目标: 1.应用导数讨论函数的单调性,并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题.
自主梳理
1.函数的最值
(1)函数f(x)在[a,b]上必有最值的条件
如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上________,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的________;
②将函数y=f(x)的各极值与________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
2.实际应用问题:首先要充分理解题意,列出适当的函数关系式,再利用导数求出该函数的最大值或最小值,最后回到实际问题中,得出最优解.
自我检测
1.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为 ( )
A.0≤a1 B.0a1
C.-1a1 D.0aeq \f(1,2)
2.(2011·汕头月考)设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( )
3.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有 ( )
A.f(0)+f(2)2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)2f(1)
4.(2011·新乡模拟)函数f(x)=eq \f(1,2)ex (sin x+cos x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的值域为______________.
5.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.
探究点一 求含参数的函数的最值
例1 已知函数f(x)=x2e-ax (a0),求函数在[1,2]上的最大值.
变式迁移1 设a0,函数f(x)=eq \f(aln x,x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值.
探究点二 用导数证明不等式
例2 (2011·张家口模拟)已知f(x)=eq \f(1,2)x2-aln x(a∈R),
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x1时,eq \f(1,2)x2+ln xeq \f(2,3)x3.
变式迁移2 (2010·安徽)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当aln 2-1且x0时,exx2-2ax+1.
探究点三 实际生活中的优化问题
例3 (2011·孝感月考)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).
变式迁移3 甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2 000eq \r(t).若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格).
(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少?
转化与化归思想的应用
例 (12分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)=(x+1)ln x-x+1.
(1)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(2)证明:(x-1)f(x)≥0.
【答题模板】
(1)解 ∵f′(x)=eq \f(x+1,x)+ln x-1=ln x+eq \f(1,x),x0,
∴xf′(x)=xln x+1.由xf′(x)≤x2+ax+1,
得a≥ln x-x,令g(x)=ln x-x,则g′(x)=eq \f(1,x)-1,[2分]
当0x1时,g′(x)0;
当x1时,g′(x)0,[4分]
∴x=1是最大值点,g(x)max=g(1)=-1,∴a≥-1,
∴a的取值范围为[-1,+∞)
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