高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全教材.doc

习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1） (2) (3) (4) . 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 . 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 解得 即所求点为M（0，0，）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设试用a, b, c表示 解： 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以，表示向量,,和. 解： 11. 设向量的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为，则 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标. 解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则 解得x=-2, y=3, z=0 故A的坐标为A(-2, 3, 0). 13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求： （1） 在各坐标轴上的投影； （2） 的模； （3） 的方向余弦； （4） 方向的单位向量. 解：（1） (2) (3) . (4) . 14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余弦. 解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4） 15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达向量a, b, c. 解： 16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量. 解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j. 17.解：设则有 求得. 设在面上的投影向量为则有 则 则 求得 又则 从而求得或 18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且，求向径的坐标. 解：设向径={x, y, z} 因为， 所以， 故={}. 19. 已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，的方向余弦是，求点P的坐标. 解：设P的坐标为（x, y, z）, 得 又 故点P的坐标为P（2，3，6）或P（）. 20. 已知a, b的夹角，且，计算： (1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b). 解：（1）a·b = (2) 21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算： （1）a·b; (2) (2a-3b)·(a + b)； （3） 解：（1） (2) (3) 22. 已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影. 解：={3，-2，-6}，={