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第二章 控制系统的数学模型 一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。 是对实际物理系统的一种数学抽象。 传递函数 是经典控制最基本，最重要的概念之一。 A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变 换和输入量的拉氏变换之比。 设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数： 式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。 那么：C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换： 推广到一般情况，系统时域数学模型——微分方程： 对上式两边进行拉氏变换： 1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固 有特性的描述。 2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关。 3) 传递函数是复变量s的有理真分式函数，即m?n。 （ m 、n分别为分子、分母的最高阶次。） 4) 若输入为单位脉冲函数，则R(s)=L[r(t)]=1，则 例 建立RC电路运动方程。 r(t)——输入量 c(t)——输出量 时域 ： ( RC=T ) —— 微分方程 复域: —————— 传递函数 频域: —— 频率特性 2-1 数学模型 二 . “三域”数学模型及其相互关系 2-1 数学模型 微分方程、传递函数和频率特性分别是系统在 时间域、复数域和频率域中的数学模型。人们在研 究分析一个控制系统的特性时，可以根据对象的特 点和工程的需要，人为地建立不同域中的数学模型 进行讨论。习惯上把用微分方程的求解、分析系统 的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性 求解、分析系统的方法称为工程分析法。 一般来说，工程分析法比数学分析法直观、方 便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原 因。 三、典型环节及其数学模型 特 点： 输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。 运动方程: c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。 传递函数： 频率特性： 例1： 输入：?(t)——角度 E——恒定电压 输出：u(t)——电压 例 2：输入：n1(t)——转速 Z1——主动轮的齿数 输出：n2(t)——转速 Z2——从动轮的齿数 其它一些比例环节 2、微分环节 例1 RC电路  设：输入——ur(t) 输出——uc(t) 消去i(t)，得到： 运动方程： 传递函数： （Tc=RC） 当Tc1时，又可表示成： 频率特性：G（j?）=jTc?——此时可近似为纯微分环节。 例 2：测速发电机CF的数学描述 输 入： ?(t)——电动机D转子（与测速发电机同轴）的转角 输 出： uf(t)——测速发电机的电枢电压 运动方程： 传递函数： G（s）=Ks 频率特性： G（j?）=jK? 其他微分环节举例 例：如右电路 运动方程： 传递函数： （T=R1C） 频率特性： 其它积分环节举例 4、惯性环节(又叫非周期环节) 特点：此环节中含