相似三角形练习题及答案材料.docx

相似三角形练习题 （附答案） 1．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 考点：相似三角形的判定；矩形的性质。菁优网版权所有专题：证明题。分析：根据两角对应相等的两个三角形相似可解．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分） ∴∠BAF=∠AED．（4分） ∵BF⊥AE， ∴∠AFB=90°． ∴∠AFB=∠D．（5分） ∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角． 2．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质。菁优网版权所有专题：几何综合题。分析：（1）因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAE=∠CAD，又因为AB=AC，AD=AE，利用SAS可证出△BAE≌△CAD，可知BE、CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证△AMN是等腰三角形． （2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变． （3）先证出△ABM≌△ACN（SAS），可得出∠CAN=∠BAM，所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等），又∵∠BAC=∠DAE，所以∠MAN=∠DAE=∠BAC，所以△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形，所以∠PBD=∠AMN，所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等，两三角形相似）．解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABE≌△ACD， ∴BE=CD． ②由△ABE≌△ACD，得 ∠ABE=∠ACD，BE=CD， ∵M、N分别是BE，CD的中点， ∴BM=CN． 又∵AB=AC， ∴△ABM≌△ACN． ∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形． （2）解：（1）中的两个结论仍然成立． （3）证明：在图②中正确画出线段PD， 由（1）同理可证△ABM≌△ACN， ∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN． 又∵∠BAC=∠DAE， ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC． ∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形． ∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形， ∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM， ∴△PBD∽△AMN．点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似）． 3．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 考点：相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质。菁优网版权所有专题：动点型。分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系； （2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．解答：解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的， 则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分） 解方程，得x1=1，x2=2，（3分） 经检验，可知x1=1，x2=2符合题意， 所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分） （2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似， 由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°， 因此有或（5分） 即①，或②（6分） 解①，得t=；解②，得t=（7分） 经检验，t=或t=都符合题意， 所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）点评：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握