利用几何知识求函数最值教材.doc

分类号 密级 U D C 编号 本科毕业论文(设计) 题目 利_ 所 在 院 系 数学与统计学院 专 业 名 称 数学与应用数学 年 级 10级 学 生 姓 名 梁宏亮 学 号 1050410021 指 导 教 师 王莹 二零一 四 年 三 月 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在王莹老师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 文献综述 一、概述 本文从已经学习过的求函数最值的方法入手，通过对例题的分析与探讨，并对用几何知识求函数最值的两种方法：数形结合与向量法进行了总结和归纳。 最后用一、两道题论述了在解决一些基本例题应该对两种方法如何取舍并对两者优劣进行了对比。 主题 1 用几何知识解决函数最值的选题依据和研究现状 1.1 选题依据 1.2 用几何知识求函数最值的研究现状 最值问题是一类常见而又重要问题，也是生活、生产、科研活动中常能遇见的一类问题。对于一些函数，用常规方法显得太过于繁琐，但若能经过巧妙的转换，运用几何知识求解往往能化难为易。 查阅资料发现，1）把最值转化为函数图像截距；（2）把函数最值转化为两点间的距离；（3）构造矩形、立方体和斜率等。除这几种方法外，面对复杂的函数组，我们需要用到线性规划的知识求解。在使用向量法求解函数的最值时，我们需要学会构造与函数相符的向量，巧妙求解。 2 用数形结合求解函数最值 2.1 转化为截距求函数最值 在中学数学中，有一些数学问题并未直接给出函数让你求解，必需通过先构造出一个函数然后经过转化为我们已知的数形结合方法去求所构造函数最值，从而对数学问题构成求解。 在中学数学中最常用到的便是一次函数的截距。一次函数构造简单，而且便于计算。只需要构造好函数后令或即可简便求出最值。 2.2 转化为两点间的距离 距离公式：若、，则AB间的距离为。一些特定的函数可以转化为形如的类型。这样就能用两点间的距离和位置关系迅速解题。 2.3 构造法 构造法是数学研究和学习中常常会用到的方法，那么在用几何知识求函数最值时是时时会用到的。而构造我们熟悉的平面图形和立体图形求解又是最常用的方法。 3 用向量法求函数最值 向量是中学数学中的一个重要模块，它能把许多代数式转化为直观的图形，便于理解。在利用向量解决函数最值时，我们好用到向量的两个主要特征： 向量三角不等式： 向量数量积的性质： 在用向量法求解时要注意两点：一方面对向量的构造一定要合理恰当。观察函数的形式，选择最为方便的向量构造，往往是否用向量法快速求出函数最值的关键。另一方面，运用向量法时，我们更多的会用到不等式的知识，而在运用不等式时，一定要注意等号成立的条件。 4 数形结合与向量法的优劣比较 数形结合和向量法在解决这类题目时各有千秋，在解决一道题时如何选择方法就变得尤为重要。通过对一道题的分析找出优缺点。 结论 对于函数的最值问题，能否用几何知识求解的前提是该函数或者其变形是否具有一定的几何意义。因此，寻找几何意义是能否用几何知识解题的关键。通过挖掘问题的几何意义构造相应的几何模型，将函数最值问题转化为几何问题，找出简单解法。 对于比较简单的函数最值问题，通过直接转化，就能得到几何意义，这就要求我们善于观察和熟练掌握几何知识，从而能快速分析函数几何意义。相对的，对于比较复杂的函数，要有创新精神，通过大胆的构造，把函数潜在的几何意义完全的发掘出来，从而解题，同时要培养联想和想象的能力。 虽然能用几何知识求