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第五章 频率响应法 一。基本要求： 了解频率特性的基本概念；频率特性的表示方法 熟练掌握典型环节的频率特性 3．掌握奈氏图的绘制方法 4．熟炼掌握伯德图的绘制方法 5．熟练掌握奈魁斯特稳定判据及稳定裕量的计算 6．掌握由频率特性分析系统的稳定性和性能的方法。 二．本章要点： 1．频率特性 （1）在正弦输入信号的作用下，线性定常系统输出的稳态分量与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性。 （2）频率特性与传递函数的关系为： 频率特性、微分方程与传递函数三种数学模型之间关系如图5-1所示 （3）频率特性的表示方法 其中： 和分别表示幅频特性和相频特性, 和分别表示实频特性和虚频特性。 ①幅相频率特性 又称奈奎斯特图，极坐标图。它是以为参变量，以复平面的矢量表示的一种方法。的幅值为，相角为（从正实轴开始，逆时针为正）。当频率从0变化到∞时，这个矢量的矢端在复平面上描绘出的曲线就称为系统的幅相频率特性，可由和或和来绘制。 ②对数频率特性(又称伯德图，共两条曲线和) 将幅频特性用增益来表示，其关系为：，称作对数幅频特性。其横坐标为，常用对数分度；纵坐标为，单位为。对数相频特性的横坐标与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率ω值，纵坐标为，单位为度（o）。 对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图。 2．典型环节的频率特性及开环系统频率特性的绘制 （1）在熟练掌握典型环节频率特性的基础上，绘制开环系统幅相频率特性的一般步骤为： ①写出开环系统的幅频特性、相频特性及实频特性和虚频特性； ②利用幅频特性、相频特性求出和时的幅值和相角，确定幅相频率特性的起点（型系统：起点为；型系统：起点为,特别是型系统，其低频段渐进线为）和终点（）。 ③利用实频特性和虚频特性求出幅相频率特性与实轴和虚轴的交点（包括交点对应的频率），特别是与实轴的交点对于系统稳定性的判别有重大意义。 令，求出，代入中，即可求出与虚轴的交点与对应的频率； 令，求出，代入中，即可求出与实轴的交点与对应的频率。 ④按顺时针方向，从起点开始，中间通过几个关键点到达终点。（在此没有考虑零点及非最小相位情况） （2）绘制开环系统对数频率特性的一般步骤为： ①将系统的开环传递函数分解为若干典型环节相乘的形式； ②画出每个典型环节的对数频率特性曲线和； ③分别对它们进行代数相加，即可得到开环系统的对数频率特性曲线和。 3．奈奎斯特稳定判据及稳定裕量 （1）奈奎斯特稳定性判据 ①当开环系统稳定时，如果相应于从-∞→+∞变化时的奈氏曲线不包围 (-1，j0)点，则闭环系统是稳定的，否则就是不稳定的。 ②当开环系统不稳定时，说明系统的开环传递函数有个极点位于平面的右半部分，如果当从—∞→+∞变化时的奈氏曲线逆时针包围点的次数，则闭环系统是稳定的，否则(即)，闭环系统就是不稳定的。 ③如果奈奎斯特曲线正好通过点，这表明闭环系统有极点在平面的虚轴上，则闭环系统处于临界稳定状态，这种情况一般也认为是不稳定的。 为简单起见，奈氏曲线通常只画从0→+∞变化的曲线的正半部分，另外一半曲线以实轴为对称轴。 应用奈奎斯特稳定性判据判别闭环系统稳定性的一般步骤如下： ①绘制开环频率特性的奈氏图，作图时可先绘出对应于从0→+∞的—段曲线，然后以实轴为对称轴，画出对应于—∞→0的另外一半。 ②计算奈氏曲线对点的逆时针包围次数。为此可从点向奈氏曲线上的点作一矢量，并计算这个矢量当从-∞→0→+∞时转过的净角度，并按每转过为一次的方法计算值。 ③由给定的开环传递函数确定位于平面右半部分的开环极点数。 ④应用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性。 （2）稳定裕量 用相位裕量和增益裕量来定量的表示系统的相对稳定性，它们也是系统的频率域性能指标。相位裕量和增益裕量如图5-2所示。 ①增益裕量 令，可求得。增益裕量表明：若系统的开环增益增加倍，则闭环系统达到临界稳定状态。实 际中常用对数增益裕量表示。 图5-2相位裕量和增益裕量 ②相位裕量 令或，可求得。 显然，当及时，闭环系统是稳定的。一般当，时，控制系统可以得到较为满意的动态性能。 4．系统的伯德图可分成三个频段： 低频段（）反映了系统的稳态性能，中频段（附近，斜率为）反