1.2.2基本初等函数的导数公式及导数运算法则2.docVIP

1.2.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　) A．1　 　　　B．2　 　　　C．3　 　　　D．4 [答案]　D [解析]　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′ ＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1， ∴y′|x＝1＝4. 2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝(　　) A．x4 B．x4－2 C．4x3－5 D．x4＋2 [答案]　B [解析]　∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1 ∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2. 3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1， ∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x， 即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)， ∴数列{}(n∈N*)的前n项和为： Sn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－＝， 4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　C [解析]　由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝a2－， 顶点在第三象限，故选C. 5．函数y＝(2＋x3)2的导数为(　　) A．6x5＋12x2 B．4＋2x3 C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)·3x [答案]　A[解析]　∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2. 6．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 [答案]　B [解析]　本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2 7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝(　　) A．0 B．－1 C．－60 D．60 [答案]　D [解析]　∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60. 8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是(　　) A．2cos B．cos2x－sin2x C．sin2x＋cos2x D．2cos [答案]　A [解析]　y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2cos. 9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　) A．3 B．2 C．1 D. [答案]　A[解析]　由f′(x)＝－＝得x＝3. 10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　) A．－ B．0 C. D．5 [答案]　B [解析]　由题设可知f(x＋5)＝f(x) ∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0) 又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x) 即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0 故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B. 二、填空题 11．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________． [答案]　32x(1＋2x2)7 [解析]　令u＝1＋2x2，则y＝u8， ∴y′x＝y′u·u′x＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x ＝32x(1＋2x2)7. 14．函数y＝x的导数为________． [答案]　 [解析]　y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＋＝. 三、解答题 15．求下列函数的导数： (1)y＝xsin2x；　　(2)y＝ln(x＋)； (3)y＝；　　(4)y＝. [解析]　(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′ ＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x. (2)y′＝·(x＋)′ ＝(1＋)＝ . (3)y′＝＝ . (4)y′＝ ＝ ＝. 16．求下列函数的导数： (1)y＝cos2(x2－x)；　 　(2)y＝cosx·sin3x； (3)y＝xloga(x2＋x－1)；　(4)y＝log2. [解析