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第十章 圆锥曲线 ★知识网络★ 第1讲 椭圆 ★知识梳理★ 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点. 当时, 的轨迹为椭圆 ; ; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为 以为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆 （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程 性 质 参数关系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 离心率 准线 3.点与椭圆的位置关系: 当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离 ★重难点突破★ 重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用 难点:椭圆的几何元素与参数的转换 重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系 1.要有用定义的意识 问题1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。 [解析]的周长为，=8 2.求标准方程要注意焦点的定位 问题2椭圆的离心率为，则 [解析]当焦点在轴上； 当焦点在轴上， 综上或3 ★热点考点题型探析★ 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1),此时小球经过的路程, 此时小球经过的路程此时小球经过的路程，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12 2. (广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A． 5 B． 7 C ．13 D． 15 [解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为或， 则， 解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或. 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系． ［警示］易漏焦点在y轴上的情况． 【新题导练】 3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________. [解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则2，即k1. 又k0，∴0k1. 4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆， 当时，，方程表示圆心在原点的圆， 当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆 5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程. [解析] ，，所求方程为+=1或+=1. 考点2 椭圆的几何性质 题型1:求椭圆的离心率（或范围） [例3 ] 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] ， ， 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定 （2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注 【新题导练】 6. (执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 . . . .