2.2直接证明与间接证明(教学设计).docVIP

2.2直接证明与间接证明（教学设计）（1） 2. 2 .1 综合法和分析法（1）--综合法 教学目标： 知识与技能目标： （1）理解综合法证明的概念；（2）能熟练地运用综合法证明数学问题。 过程与方法目标: （1）通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出综合法证明的操作流程图。 情感、态度与价值观： 通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。 （2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯。 教学重点：了解综合法的思考过程、特点综合法的思考过程、特点 给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。 充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为， 所以。 因为， 所以。 因此 。 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为： 综合法的特点是： 由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 例2（课本P37例3）：在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明． 证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A,B,C为△ABC的内角，所以 A + B + C=． ② 由①②，得 B=． ③ 由a, b，c成等比数列，有 ． ④ 由余弦定理及③，可得 ． 再由④，得 ． 即 ， 因此 ． 从而 A=C． 由②③⑤，得 A=B=C=． 所以△ABC为等边三角形． 注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来． 例3：已知求证 分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设 ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设 故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。 例4、若实数，求证： 证明：采用差值比较法： = = = = ∴ 成立 ∴ 例5．设函数对任意，都有，且时，． （1）证明为奇函数； （2）证明在上为减函数． 证明：（1），， 令，， ，令，代入，得， 而，， 是奇函数； （2）任取，且， 则， ． 又， 为奇函数， ， ，即， 在上是减函数． 三、课堂小结，巩固反思： 综合法的特点是： 由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 四、布置作业： A组： 1、若，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的个数是____（个）（写出所有正确的情况） ①②③④ 【答案】：1个 【解析】①项，所以，；②项，； ③项，所以；④项，因为， 所以，得，故只有④正确。 2、（课本P44习题2.2 A组：NO：1）已知都是锐角，且， 求证：. 解：因为 展开得 即 （1） 因为 ，所以.因为都是锐角,所以都是锐角 从而 所以 ,即 。 （1）式变形得 即 因为都是锐角，所以 ，从而 3、（课本P44习题2.2 A组：NO：2） 4、在中，已知，且．判断的形状． 解：，． 又， ， ． 又与均为的内角，． 又由， 得，， 又由余弦定理， 得， ，，． 又，为等边三角形． 3