2013高中数学高考题详细分类考点37立体几何中的向量方法.doc

考点37 立体几何中的向量方法ABC； （2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； （3）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值. 【解题指南】（1）利用面面垂直证明线面垂直. （2）建系，求出二面角对应两个面的法向量，利用法向量的夹角求二面角的余弦值. （3）设出D点坐标，利用向量解题. 【解析】（1）是正方形，。 又，。 （2），。 分别以为建立如图所示的空间直线坐标系。 则，，，， 设平面的法向量为，平面的法向量， ，，。 可得可取。 。 由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为。 （3）点D的竖轴坐标为t(0t4)，在平面中作于E,根据比例关系可知， ， 又，，。 2. （2013·辽宁高考理科·Ｔ18）如图， 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点。 求证：平面平面; 若求二面角的余弦值。 【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直，由面面垂直的判定定理解决问题；借助前面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值。 【解析】由是圆的直径，得； 由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得； 又 所以，又因为 据面面垂直判定定理，平面平面; 过点作∥,由知平面. 如图所示，以点为坐标原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系。 在直角三角形ABC中，所以 又所以 故 设平面的法向量为 则 不妨令，则故 设平面的法向量为， 由同理可得 于是 结合图形和题意，二面角的余弦值为 3. （2013·湖北高考理科·T19） （Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为，试判断直线与平面PAC的位置关系，并加以证明。 （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线与圆O的另一个交点为D，且点Q满足,记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E--C的大小为，求证： 【解题指南】（Ⅰ）利用线面平行的判定和性质定理求解.（Ⅱ）用综合法,利用三角函数证明或用向量法,利用法向量的夹角证明. 【解析】（）直线平面，证明如下： 连接，因为，分别是，的中点，所以. 又平面，且平面，所以平面.而平面，且平面平面，所以.因为平面，平面，所以直线平面. （）如图1，连接，由（）可知交线即为直线，且. 因为是的直径，所以，于是. 已知平面，而平面，所以. 而，所以平面. 连接，，因为平面，所以. 故就是二面角的平面角，即. 由，作，且. 连接，，因为是的中点，，所以， 从而四边形是平行四边形，. 连接，因为平面，所以是在平面内的射影， 故就是直线与平面所成的角，即. 又平面，有，知为锐角， 故为异面直线与所成的角，即， 于是在，，中，分别可得 ，，， 从而，即. 如图2，由，作，且.连接，，，，，由（）可知交线即为直线. 以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有 , . 于是，，， 所以，从而. 又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为，所以由 可得 取. 于是，从而. 故，即. 中，⊥底面，，，，为的中点，⊥． （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【解题指南】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标根据⊥可求出的长，再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值. 【解析】（Ⅰ）如图, 连接交于,因为,即为等腰三角形,又平分,故,以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则而,得.又故 因⊥底面，可设, 由为边中点, 又.因⊥．故即(舍去),所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知设平面的法向量为平面的法向量为由得 因此可取. 由得 因此可取 从而法向量夹角的余弦值为 故二面角的正弦值为 5. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ18）如图，三棱柱中，，，. （Ⅰ）证明; （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. 【解题指南】(Ⅰ)取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直. (Ⅱ)利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角,或建立空间直角坐标系求解. 【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，，. 因为，所以. 由于，，故为等边三角形， 所以. 因为，所以面. 又平面，故. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，， 又平面平面，交线为，所以平面，故，，两两互相垂直. 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 则有，,,. 则， ， . 设平面的法向量为， 则有，即，可取. 故 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ19）如图，四棱锥都是等边三角形. （I）证明： （II）求二面角 【解