2015步步高理科数学专题四.docVIP

专题四　高考中的立体几何问题 1.(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(　　) A.4 B. C. D.6 答案　B 解析　由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V＝(2×2＋1×1＋)×2＝. 2.(2013·课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则(　　) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l 答案　D 解析　假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l. 3.如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是(　　) 答案　D 解析　空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′上的投影是A；在面BCC′B′上的投影是B；在面ABCD上的投影是C，故选D. 4.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　) A.5B.6 C.4 D.8 答案　A 解析　∵＝＋＋， ∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2··＋2··＋2·· ＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×3×2×＋2×1×2×＝25，∴||＝5.故选A. 5.如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________. 答案　平行 解析　取PD的中点F，连接EF， 在△PCD中，EF綊CD. 又∵AB∥CD且CD＝2AB， ∴EF綊AB， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴EB∥AF. 又∵EB平面PAD，AF平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 题型一　空间点、线、面的位置关系 例1　(2013·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点. (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求证：平面EFG⊥平面EMN. 思维启迪　(1)在平面PAD内作直线CE的平行线或者利用平面CEF∥平面PAD证明； (2)MN是平面EFG的垂线. 证明　(1)方法一　取PA的中点H，连接EH，DH. 又E为PB的中点， 所以EH綊AB. 又CD綊AB，所以EH綊CD. 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH. 又DH平面PAD，CE平面PAD. 所以CE∥平面PAD. 方法二　连接CF. 因为F为AB的中点， 所以AF＝AB. 又CD＝AB，所以AF＝CD. 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形. 因此CF∥AD，又CF平面PAD， 所以CF∥平面PAD. 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA. 又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD. 又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD. (2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA. 又因为AB⊥PA， 所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG. 又因为EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG. 所以AB⊥平面EFG. 又因为M，N分别为PD，PC的中点， 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB， 所以MN⊥平面EFG. 又因为MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN. 思维升华　高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用. 　如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M，N分别为A1B，B1C1的中点.求证： (1)BC∥平面MNB1； (2)平面A1CB⊥平面ACC1A. 证明　(1)因为BC∥B1C1， 且B1C1平面MNB1， BC平面MNB1， 故BC∥平面MNB1. (2)因为BC⊥AC，且ABC－A1B1C1为直三棱柱， 故BC⊥平面ACC1A1. 因为BC平面A1CB， 故平面A1CB⊥平面ACC1A1. 题型二　平面图形的翻折问题 例2　如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，