2高三第一轮复习用均值不等式求最值的类型及方法.docVIP

高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法 均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ①当且仅当a = b时，“=”号成立； ②当且仅当a = b时，“=”号成立； ③当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：。 二、函数图象及性质 (1)函数图象如图： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：，；单调递减区间：，. 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数的最小值。 解析： ， 当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ① ② 解析：①， ∴， 当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ②，则，欲求y的最大值，可先求的最大值。 , 当且仅当，即时， 不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x、y，求的最小值。 解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且， 则， ∵，∴，则， 即在上是减函数。 故当时，在上有最小值5。 解法二：（配方法）因，则有， 易知当时， 且单调递减，则在上也是减函数， 即在上是减函数，当时，在上有最小值5。 解法三：（导数法）由得，当时，， 则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。 解法四：（拆分法）， 当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。 评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x、y满足，求的最小值。 解法一：（利用均值不等式）, 当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法二：（消元法）由得，由 则。 当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法三：（三角换元法）令则有 则： ， 易求得时“=”号成立，故最小值是18。 评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 。原因就是等号成立的条件不一致。 类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例5、已知正数满足，试求、的范围。 解法一：由，则， 即解得， 当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。 又， 当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。 解法二：由，知， 则：，由， 则：， 当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。 ， 当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析： 例1. 求函数的最值。 错解： 当且仅当即时取等号。所以当时，y的最小值为25，此函数没有最大值。 分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件，两个数都应大于零，因而导致错误。因为函数的定义域为，所以必须对的正负加以分类讨论。 正解：1）当时， 当且仅当即时取等号。所以当时， 2）当时，， 当且仅当，即时取等号，所以当时，. 例2. 当时，求的最小值。 错解：因为 所以当且仅当即时，。 分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中与的积不是定值，导致应用错误。 正解：因为 当且仅当，即时等号成立，所以当时，。 例3. 求的最小值。 错解：因为，所以 分析：忽视了取最小值时须成立的条件，而此式化解得，无解，所以原函数取不到最小值。 正解：令，则 又因为时，是递增的。所以当，即时，。 例4.已知且，求的最小值. 错解： ,,的最小值为. 分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为和，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值. 正解： 当且仅当即时等号成立. 的最小值为. 综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数； 二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就