连续时间系统的时域分析1剖析.ppt

* 第2章 连续时间系统的时域分析 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 2.2 LTI连续系统的响应 2.3 单位冲激响应 2.4 卷积及其性质 2.1.1 建立LTI系统的数学模型 有两类建立系统模型的方法，一是输入输出描述法，二是状态变量描述法。本章只讨论输入输出描述法。用这种描述法，连续时间LTI系统的数学模型是常系数线性微分方程；离散时间LTI系统的数学模型是常系数线性差分方程。 　　由具体电路模型可以讨论系统数学模型的建立。 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 例2.1-1 如图所示的RLC串联电路， e(t)为激励信号， 响应为i(t)， 试写出其微分方程。 解 这是有两个独立动态元件的二阶系统， 利用KVL定理列回路方程， 可得 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 上式是一个微、 积分方程， 对方程两边求导， 并代入系数， 整理为 这是二阶系统的数学模型——二阶线性微分方程。 一般有n个独立动态元件组成的系统是n阶系统，可以由n阶微分方程描述(或n个一阶微分方程组描述)。 还可以从另一个角度判断一般电路系统的阶数：系统的阶数等于独立的电容电压vC(t)与独立的电感电流iL(t)的个数之和。 其中独立vC(t)是不能用其他vC(t)(可含电源)表示的；独立iL(t)是不能用其他iL(t)(可含电源)表示的。 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 例2.1-2 判断系统阶数。 解 (1)列电路(a)的KVL方程： R1i1(t)+vC1(t)+vC2(t)=e(t)， vC2(t)=vR2(t)，有两个独立的vC(t)， 所以该系统是二阶系统。 (2)列电路(b)的KVL方程：vC1(t)=vC2(t)+vC3(t)， 是通过其它vC(t)表示的， 是非独立的vC(t)； 但vC2(t)≠vC3(t)， 有两个独立的vC(t)， 所以该系统也是二阶系统。 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 2.1.2 用算子符号表示微分方程 n阶LTI系统的数学模型是n阶线性常系数微分方程，一般表示为 　　一般形式书写起来不方便，为了形式上简洁，可以将微、积分方程中的微、积分运算用算子符号p与1/p表示，由此得到的方程称为算子方程。 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 微分算子 积分算子 这样， 例2.1-1电路的微分方程可以表示为 p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t) n阶线性微分方程可以用算子表示为 pny(t)+an-1pn-1y(t)+...+a1 py(t)+a0y(t) =bmpmf(t)+bm-1pm-1f(t)+...+b1 pf(t)+b0f(t) 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 算子方程中的每一项表示的是运算关系，而不是代数运算。不过模仿代数运算，可以将上式写为 (pn+an-1pn-1+...+a1p+a0)y(t) = (bmpm+bm-1pm-1+...+b1p+b0)f(t) n阶线性微分方程的算子方程。 若再令 D(p)=pn+an-1pn-1+...+a1p+an N(p)=bmpm+bn-1pm-1+...+b1p+b0 称D(p)、N(p)分别为分母、分子算子多项式，可简化为 　　　 D(p)y(t)=N(p)f(t) 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 上式可以进一步改写为 注意：式中分母多项式D(p)表示对输出y(t)的运算关系， 分子多项式N(p)表示对输入f(t)的运算关系， 而不是两个多项式相除的简单代数关系。 算子表示的是微、 积分运算， 因此代数运算规则不能简单照套， 下面具体讨论算子的运算规则。 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 (1) 可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开。 　 (p+a)(p+b)x=［p2+(a+b)p+ab］x 证 这样的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)还可以表示为 (p+2)(p+3)i(t)=pe(t) 2.1 LTI系统的数学模型与传输算子 (2) 算子方程左、 右两端的算子符号p不能随便消去。 px=py 由 ， 解出x=y+C而不是x=y， 两者 相差一个任意常数C 所以不能由px=py得到x=y， 即px=py， 但x≠y。 这一结论可推广到一般的算子方程： D(p)x=