从不同角度探求一道试题的本质1.docVIP

从不同角度探求一道试题的本质 浙江舟山南海实验学校初中部 张宏政、郑伟君（316021） 文[1]刊登的《07年太原市初中数学竞赛》第6大题试题是： 如图1，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上 截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点，求证：MN∥AD。 文[1]中给出的证明方法如下：如图2，连结BE，记BE中 点为F，连结FN、FM。 ∵FN为△EAB的中位线，∴FN=，且FN∥AB， 又∵FM为△BCE的中位线，故，且FM∥CE， 又CE=AB，则FN=FM，故∠3=∠4，但∠4=∠5，∴∠3=∠5， 又∠1+∠2=∠3+∠5，而∠1=∠2，则∠2=∠5，故MN∥AD。 探究上述思路的来源，关键是由中点联想到中位线定理，由AB=CE进一步联想应构建以AB、CE为底边的三角形，由此发现相应的辅助线BE，从而形成思维路径。这样的思路是命题者的立意所在，主要考查学生是否具备完备的知识结构、良好的提取信息能力、恰当的联想能力以及必要的迁移能力。那么，除上述思路外是否还有别的简捷、自然的证明方法？不妨让我们尝试从其他角度进行思考！ 1．从图形的结构特点进行思考 由于AB=CE，但两者的位置决定了它们无法形成有机的联系，联想到条件中的角平分线AD，正好是建构轴对称的核心元素，因此，想到把△ABD 沿轴AD翻折（如图3），于是，AB=AB’=CE，故有AE=CB’， 从M为BC中点再联想到中位线，但这时另一个中点G（对 称点连线段BB’与轴AD的交点）的出现却是恰到好处，于是， 连结GM，自然就有GM∥CB’，且GM=CB’，由于N为AE 的中点，则GM=AN，故四边形AGMN为平行四边形，则AD∥MN。 上述思路，从图形中蕴藏的特殊结构出发进行变化，使原本看似不相关的条件逐步形成有机的联系，从而使思路自然形成，或许这样会更符合学生的认知规律吧。 2．从变与不变的逻辑关系进行思考 让我们再从另外一个角度进行思考。如图4，当△ABC确定后，根据条件，点D、M的位置也随之确定，于是，决定MN是否平行AD的可变元素 就是N点，而N点的位置又是由点E惟一确定，所以如果说当 CE=AB时，有MN∥AD；那么反之当MN∥AD时，就应有 CE=AB。于是，从反面这个角度看问题，最容易想到的就不 应是中位线定理，而是想到用CN：AC=CM：CD来证明平行！ 不妨设AB=，AC=，则CE=AB=，∵N为AE的中点，∴CN=， 故CN：AC= 由于M为BC中点，故CM=，因此，要计算CM：CD的值，只需找到CD与BC的关系即可，从而自然想到角平分线性质， ∵AD平分∠BAC，∴，则， 于是CM：CD=， 故CN：AC=CM：CD，∴ MN∥AD。 以上思路是从变与不变的逻辑关系加以分析，充分暴露了问题的构造过程，揭示了结论形成的原因所在，问题的本质也就彻底显现出来了。几何问题从本质上说就是验证从条件到结论的逻辑关系，因此，上述角度的分析可以让我们更清晰的把握证明的思路。让我们还是从这个角度进行另一个试题的分析。试题如下： 如图5，四边形是梯形，点是上底边上一点， 的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线 交的延长线于点，与交于点. 证明：∠=∠.（2007年全国初中数学联赛第2试第2大题） 分析：显然当梯形ABCD确定后，点F、M的位置是由E点惟一控制，而N点的位置又是由M点惟一决定，所以，可以说点E是联系本题前因后果的中枢，但从结论却发现，无论E点如何变化，∠与∠一直保持相等。由于BA∥ME，故∠FAN=∠MED，由三角形内角和性质可知，必有∠FNA=∠MDE，问题也就转化成证明FN∥MC。 这是为什么呢？实际上，此题中E点的位置虽然在变，但条件 AD∥BC、BA∥ME没有改变，看来是本题的不变因素：AD∥BC、 BA∥ME确保了FN∥MC。注意到FN和MC的位置关 系，可联想用比例线段与平行线的关系来实现这一目标（如图6）。 即只须证明：①FE：EC=NE：ED或②PM：PN=PC：PF（设 与交于点）。对于①，由不变因素BA∥ME，可得FE：EC=BG：GC（由于点E是平行线BF、ME被CF所截出来的交点，故想到延长ME交BC于G）；由另一个不变因素AD∥BC可得△MNE∽△MBG，△MED∽△MGC，故NE：BG=ME：MG，ED：GC=ME：MG，即NE：ED=BG：GC，所以FE：EC=NE：ED；对于②，可由这两个不变因素导致的另两对相似三角形△PEN∽△PBC和△PME∽△PBF中实现比例线段的转移，从而可得PM：PN=PC：PF（这也是命题组提供的证明思路）。 几何证明的思路应“合乎情理、力求自然”，否则就会像是波利亚所说的“从帽子中掏出来的兔子”。从问题的已知和结论出发，根据有关信息和结