作业一传热与流体流动的数值方法.docVIP

流动与传热的数值方法作业（一） 姓名：徐世杰 学号：120351 题目1： 用Galerkin 方法求以下方程在内部节点的离散化方程。 取线性插值函数，，其中节点间距是均匀的。 题目2：考虑 用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程； 写出代数方程组的迭代求解程序； 研究空间步长对数值精度和收敛性的影响。 题目一 解：Galerkin 方法就是将对应某个点上的插值函数作为权函数。Galerkin 方法是有限元方法。 可知有： ， i=2，….,n-1 按照习惯，上述积分写成： 可以推得： 由弱解变换可以得 可以得 ，i=2，…,n-1 上式继续推导有： 其中， 化简可以得： i=2，….,n-1 题目二 ①用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程： 首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。将0-1划分为N段，共N+1个节点，N个控制容积，其中。 对原方程建立差分方程，内部节点： 边界节点 边界节点 组成代数方程组： 写成矩阵方程组： ②写出代数方程组的迭代求解程序: 用Matlab编写如下求解程序； function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M) %高斯迭代格式 %线性方程组的系数：A %线性方程组中常数向量：b %迭代初始向量：x0 %解的精度控制：eps %迭代步数控制：M %线性方程组的解：x %求出所需精度的解实际迭代步数：n if nargin==3 eps=0.000001; M=10000; elseif nargin==4 M=10000; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=x0; n=0; tol=1; while tol=eps x=G*x0+f; n=n+1; tol=norm(x-x0); x0=x; if (n=M) disp (Warning：’迭代次数过多，可能不收敛.) return; end end N=input(请输入N值\n) Tp=input(请输入Tp值\n) x1=zeros(N,1) A0=zeros(N); A0(1,1)=N+1/(2*N); A0(1,2)=-N; A0(N,N-1)=-N; A0(N,N)=2*N+1/N; for i=2:N-1 A0(i,i-1)=-N; A0(i,i)=2*N+1/N; A0(i,i+1)=-N; end b0=zeros(N,1); b0(1,1)=(1/N)*Tp; b0(N,1)=(2/N)*Tp+N; for i=2:N-1 b0(i,1)=(2/N)*Tp; end A=A0; b=b0; x0=x1; [x,n]=gauseidel(A,b,x0) x=[x;1] t=(0:1/N:1) title(一维稳态导热问题空间温度分布图) xlabel(空间分布X) ylabel(温度分布T) hold on plot(t,x) 研究空间步长对数值精度和收敛性的影响。由以上程序计算当取=1。 当N=4时; 迭代次数n=62； N=6;迭代次数n=132； N=9; 迭代次数n=282 由上图可见随着步长的缩短，计算结果更加精确，数值精度越高，收敛速度越慢。