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使用初等力学分析理想矩形陀螺的运动 思维机器 sayk@yahoo.cn 摘要： 本文通过初等力学方法，用动量守恒定律、冲量定理分析陀螺诸如进动、不倒、章动原因，目的是绕开经典力学、数学物理等较复杂工具，使具有初中水平的读者能完全掌握陀螺运动的动量守恒本源，并进行简单计算。 关键词：陀螺 进动 章动 初等力学 1、引言 刚体陀螺这个古典问题，早在二百多年前，由当时数学家欧拉、拉格朗日等人完美解决了，欧拉研究了自由陀螺的运动，拉格朗日研究了重力场情景下陀螺问题。现代多使用更方便的哈密顿原理求解复杂陀螺系统，不过这需要深厚专业知识背景。 本文是面对高中文化水平以下的读者，通过引入“理想矩形陀螺”来避开复杂抽象的数学运算，抛开繁多的细节末枝，直接面对陀螺运动的本质，这样会更好的理解陀螺运动。当然，圆形陀螺等各种真实陀螺，通过数学演算也可等效为矩形陀螺。 2、理想矩形陀螺 一个矩形轻质薄平板，厚度可以忽略，两面中心连接有固定的支点（不转动，和薄平板是一体的），平板四边紧贴着光滑、柔软、不可伸缩的封闭细质量带，质量带围绕平板四周可自由无阻力旋转，因框架四周有轻质卡槽，质量带不会滑落框架。这种理想陀螺的重量全部集中在质量带上。如图1所示。 3、矢量三角形法则 考虑图2中两个矢量，根据平行四边形法则，合成矢量如图2左图所示，由此可以导出如图2中图矢量三角形法则，用于本文动量守恒分析，右图则是推广平行四边形法则，称为矢量多边性法则，如果没有特别说明，本文黑体字母均为矢量。 4、一个因隐蔽而被忽视的力 考虑一根有限长、轻质、不可弯曲的管道，内部具有不可伸缩的质量带，以速度v在管道中运动，并考虑在该管道中心扭动管道。如图3所示，图右侧是管道转动前后动量分析图，为保持动量守恒，使用了动量三角形分析。注意每一时刻，力的方向与质量带速度方向垂直，所以扭转不影响管内质量带运动速率。 第一种情况，保持管道不动，动量变化转化为冲力，转动时间τ，则根据冲量定理，管道受到的垂直的力为： F=△P/τ △P2=P2[2(1-cos(θ))] 第二种情况，如果管道自由运动，则转动后的管道将向图中F方向以速度u运动，这种情况，管道内质量带速度发生变化： u=△P/m m为体系总质量。 下面分析可以看出，矩形理想陀螺进动的起源属于第一种情况，陀螺保持方向性（陀螺不倒）的起源是第二种情况，陀螺章动则与两种情况都有关系。 5、理想矩形陀螺的进动原因 考虑无重力空间中，一横放三轴理想矩形陀螺质量带作高速转动，转动速度为v，矩形陀螺高为h，宽为w，边长为： c=2(w+h) 则等效转动角速度为： ω0=2πv/c 在转轴垂直方向施加一力矩L，导致 陀螺在力矩L下作θ小角度偏转，如图4所示。 受力矩作用后，陀螺仅作力矩方向的偏转，对横置矩形陀螺，上下两边仅作平移，平移不导致动量冲量变化，结合本文第3节内容，仅考虑两竖边动量变化情况。如图5所示。 受力矩L作θ小角偏转后，每条竖边动量变化△P，方向相反，整个陀螺将在此动量基础上开始进动（旋进），旋进算术平均速度为： u=2△P/m 进动角速度为（忽略离心力）： ω=ω0(σ+h2)[8(1-cos(θ))]1/2/(πξ) ξ=σ[2-(1+1/η)(1+η2)1/2]+h2ln[η+(1+η2)1/2]+w2ln[(1+(1+η2)1/2)/ η] 对于正方形陀螺： ξ=2σ(1-21/2+ln(1+21/2)) ω=ω0 [8(1-cos(θ))]1/2/(π(1-21/2+ln(1+21/2))) θ：矩形陀螺在外力矩下偏转角 ω0：矩形陀螺自转角速度 σ：矩形陀螺面积 η：矩形陀螺宽高比 w：横放矩形陀螺上边（下边）长度 h：横放矩形陀螺左、右边长度 u：为矩形陀螺进动平均速度 m：矩形陀螺总质量。 6、理想矩形陀螺方向性(不倒分析) 由于矩形陀螺进动，上下边绕矩形竖直轴开始做角速度ω的转动，如图5所示。 由于上下两边在进动过程中动量守恒，利用动量矢量三角形分析转动过程，发现上下两边由于动量守恒(具体分析方法参见本文第3节)，根据冲量定律，此时会产生一个力矩L’，方向与轴原来施加力矩相反。施加力矩越大，进动速度越快，导致上下两边产生的反力矩也越大，如此陀螺将不再在原力矩方向继续“倾倒”，而具有方向性，并根据冲量定理，可以分析反向力矩大小是： L’= kPω/π k=σ/c L’：方向力矩大小 k：矩形陀螺参数：矩形面积/矩形周长 σ:矩形陀螺矩形面面积 c:矩形陀螺矩形周长 P:陀螺自转总动量 ω：陀螺进动角速度 利用L=L’可以得出理想三轴矩形陀螺稳定时进动公式： ω=πL/(KP) 进而可以导出自转角速度ω0、外力矩L、进动角速度ω关系： ω=2π2L/(σmω0) 7、理想矩形陀螺的章动 下面分析中，抛开矩形陀螺，而