例谈圆中常见作辅助线的方法(刘鹏程).docVIP

例谈圆中常见作辅助线的方法 圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见辅助线的归纳如下.求⊙Ｏ的半径。 解：过点O作OM⊥AC于M，∴AM=MD=AD/2=1. ∵PQ切⊙Ｏ于T， ∴OT⊥PQ．又∵AC⊥PQ，OM⊥AC， ∴∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°， ∴四边形OTCM为矩形．∴OM=TC=， ∴在Rt△AOM中，． 即⊙Ｏ的半径为2． 例2　如图2，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证：AC=BD. 证明：过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE. ∵AC=AE-CE，BD=BE-DE. ∴AC=BD. 二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径） 例3 如图3，⊙O的直径CD=20cm，直线⊥CO，垂足为H，交⊙O于A、B两点，AB=16 cm，直线平移多少厘米时能于⊙O相切？ 解：连接OA， ∵⊥CO，∴OC平分AB∴AH=8cm. 在Rt△AHO中，OH=6cm. ∴CH=4cm，DH=16 cm. 答：直线向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙O相切。 例4 如图4，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B. 求证：PB是⊙O的切线. 证明：连接OA、OB. ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°. ∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP. 又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP. ∴∠OPB=∠OAP=90°. ∴PB是⊙O的切线. 三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决） 例5 直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度AB的长是多少厘米？ 解：连接OA，作OC⊥AB于C，则AC=BC=AB. 在Rt△OAC中，OA=×52=26厘米，OC=26-16=10厘米， ∴AC=24厘米. ∴AB=2AC=48厘米. 四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆有关证明，利用直径的圆周角为直角性质构造出直角三角形，从而将问题化到直角三角形中去证明O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=. （1）求证：AM·MB=EM·MC； （2）求EM的长； （3）求sin∠EOB的值. 解：（1）连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM. 又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB． ∴　，即AM·MB=EM·MC． （2） ∵DC为⊙O的直径，∴∠DEC=90°，EC= ∵OA=OB=4，M为OB的中点，∴AM=6，BM=2．设EM=，则CM=7－． 代入（1）,得 .解得=3，=4．但EM＞MC，∴EM=4. （3） 由（2）知，OE=EM=4，作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB=1． 在Rt△EOF中，　 ∴sin∠EOB=. 例7 如图7所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE． （1）证明：连结OE，BE， ∵AB是直径，∴BE⊥AC. ∵D是BC的中点， ∴DE=DB， ∴∠DBE=∠DEB. 又OE=OB， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠DBE+∠OBE=∠DBE+∠OEB. 即∠ABD=∠OED. 又∵∠ABC=90°，∴∠OED=90°， ∴DE是⊙O的切线. （2）解：∵， ∴， ∴. 五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题化到直角三角形中去, 点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°,AB=6，求⊙O半径的长。 解：作直径AD，连结BD. ∵∠ACB=60°，∴∠D=∠ACB=60°. 又∵AD是直径，∴∠ABD=90°， ∴， ∴. 例9 如图9，已知在⊙O中，AB、CD是两条弦，且AB⊥CD，于点G，OE⊥BC于点E. 求证：OE=AD. 证明：作直径CF，连接DF、FB、DB. ∵CF是直径，∴∠CBF=90°， ∴∠BCF+∠BFC=90°. ∵∠BGD=90°，∴∠ABD+∠BDC=90°. 又∵∠BDC=∠BFC， ∴∠BCF=∠A