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八----几种典型的力学问题 复习要点 1．“碰撞过程”的分析 2．“人船模型”的研究 3．“fd=△EK”的运用 二、难点剖析 1．“碰撞过程”的分析 （1）“碰撞过程”的特征. “碰撞过程”作为一个典型的力学过程其特征主要表现在如下两个方面： 第一，经历的时间极短，通常情况下，碰撞所经历的时间在整个力学过程中都是可以初忽略的；第二碰撞双方相互作用的内力往往是远大于来自外部物体的作用力 （2）“碰撞过程”的规律 正是因为“碰撞过程”所具备的“作用时间短”和“外力很小”（甚至外力为零）这两个特征，才使得碰撞双方构成的系统在碰撞前后的总动量遵从守恒定律，即 m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2 （3）“碰撞过程”的分类。 按照形变恢复情况划分：碰撞过程中所产生的形变能够完全恢复的称为弹性碰撞；碰撞过程中所产生的形变不能够完全恢复的称为非弹性碰撞；碰撞过程中所产生的形变完全不能够恢复的称为完全非弹性碰撞。 按照机械能损失的情况划分：碰撞过程中没有机械能损失的称为弹性碰掸撞；碰撞过程中有机械能损失的称为非弹性碰撞；碰撞过程中机械能损失最多的称为完全非弹性碰撞。 （4）“碰撞过程”的特例. 弹性碰撞作为碰撞过程的一个特例，它是所有碰撞过程的一种极端的情况：形变能够完全恢复；机械能丝毫没有损失。弹性碰撞除了遵从上述的动量守恒定律外，还具备：碰前、碰后系统的总动能相等的特征，即 m1υ12+m2υ22=m1u12+m1u12 由此即可把弹性碰撞碰后的速度u1和u2表为 u1=υ1+υ2 u2=υ1+υ2 如对弹性碰撞的速度表达式进一步探讨，还会发现另一特征：弹性碰撞前，碰后，碰撞双方的相对速度大小相等，即 u2－u1=υ1－υ2 完全非弹性碰撞作为碰撞过程的一个特别，它是所有碰撞过程的另一种极端的情况：形变完全不能够恢复；机械能损失达到最大。正因为完全非弹性碰撞具备了“形变完全不能够恢复”。所以在遵从上述的动量守恒定律外，还具德：碰撞双方碰后的速度相等的特征，即 u1=u2 由此即可把完全非弹性碰撞后的速度u1和u2表为 u1=u2= 而完全非弹性碰撞过程中“机械能损失最大”的特征可以给出如下证明：碰撞过程中机械能损失表为 △E=m1υ12+m2υ22―m1u12―m2u22 由动量守恒的表达式中得 u2=(m1υ1+m2υ2－m1u1) 代入上式可将机械能的损失△E表为u1的函数为 E=－u12+u1+[(m1υ12+m2υ22) －( m1υ1+m2υ2－m1u1)2] 这是一个二次项系数小于零的二次三项式，显然：当 u1=u2= 时，即当碰撞是完全非弹性碰撞时，系统机械能的损失达到最大值 △Em=m1υ12+m2υ22－ （5）“碰撞过程”的制约 通常有如下三种因素制约着“碰撞过程”。 ①动量制约：即碰撞过程必须受到“动量守恒定律的制约”； ②动量制约：即能机械碰撞过程，碰撞双方的总动能不会增加； ③运动制约：即碰撞过程还将受到运动的合理性要求的制约，比如，某物体向右运动，被后面物体迫及而碰撞后，其运动速度只会增大而不应该减小。 （6）“碰撞过程”的推广。 相互作用的双方在相互作用过程中系统所受到的合外力为零时，我们可以将这样的过程视为“广义的碰撞过程”加以处理。 2．“人船模型”的研究 （1）“人船模型” 典型的力学过程通常是典型的模型所参与和经历的，而参与和经历力学过程的模型所具备的特征，将直接影响着力学过程的发生，发展和变化，在将直接影响着力学过程的分析思路，在下列力学问题中我们将面临着一个典型的“人船模型”。 问题：如图—1所示，质量为M的小船长L， 静止于水面，质量为M的小船长为L，静止于水面， 质量为m的人从船左端走到船右端，不计水对船的 运动阻力，则这过程中船将移动多远？ （2）“人船模型”的力学特征 图—1 如能关注到如下几点就可以说基本上把握住了“ 人船模型”的力学特征了：“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合外力为零；而系统的合外力为零则保证了系统在运动过程中总动量守恒。 （3）“人船模型”的分析思路。 ①分析“人船模型”运动过程中的受力特征，进而判断其动量守恒，得 mυ=Mu ②由于运动过程中任一时刻人，船速度大小υ和u均满足上述关系，所以运动过程中，人、船平均速度大小，和也应满足相似的关系。即 m=M ③在上式两端同乘以时间，就可得到人，船相对于地面移动的距离S1和S2的关系为 mS1=MS2 ④考虑到人、船相对运动通过的距离为L，于是得 S1+S2=L ⑤由此