八年级数学下册专题复习在动点中来探究四边形的形状.docVIP

八年级数学下册专题复习： 在动点中来探究四边形的形状 编写：赵化中学 郑宗平 例1. 如图，△中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． ⑴.判断OE与OF的大小关系？并说明理由？ ⑵.若,求的长？ ⑶.当点O运动到的何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由. 分析： ⑴.由角平分线的的定义和平行线的性质容易推出，则；等量代换后OE=OF. ⑵.是△的的中线，根据题中的提供的数据，无非△是特殊三角形才能求出；若△是直角三角形，一切问题解决了；根据题中MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，可以证得． ⑶.本问关键是抓住不变的是什么？变的是什么？在本问中不变的是, 而点O在的位置是发生变化的. 要证四边形AECF是矩形，已经知道，证明四边形AECF是矩形的思路有两条，一是“有三个角是直角的四边是矩形”；二是“有一个角为直角的平行四边形是矩形”；由于恰好是四边形AECF的对角线，并且有（即点为的中点），所以我们考虑用后面一种方法；也就是点同时为的中点,即构成了对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上，所以四边形AECF是矩形. 略解： ⑴.∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F ∴ ∵MN∥BC ∴ ∴ ∴ ∴ ⑵.∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F ∴ ∴ ∴. ∴ ∵ ∴. ∵, ∴ ⑶. 点O运动到的中点时，四边形AECF是矩形.理由如下： ∵ ∴四边形AECF是平行四边形 ； 又 ∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 例2.如图在梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B＝90°,AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以3cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t (s)．⑴.若点P从点A开始沿射线AD运动，当点Q到达点B时，点 P也随之停止运动.当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四 边形是平行四边形． ⑵.当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．当t为何值 时，四边形PQCD为等腰梯形(等腰梯形即两腰相等的梯形)． 分析： ⑴.根据题意可知：当P在线段AD上，则当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形；P在线段AD的延长线上，则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，所以根据题中条件用t的代数式分别表示出PD、CQ，再由PD=CQ列方程求解即可． ⑵见图若四边形PQCD为等腰梯形.由BC-AD=2cm，可知当CQ-PD=4cm时，所以根据题中条件用t的代数式分别表示出CQ、PD,再由CQ-PD=4cm列方程求解即可出本问的答案. 略解：⑴.分为两种情况 ①.如果P在线段AD上（见图示红色虚线），则当PD=CQ四边形PQCD为平行四边形.∴24-3t=t，解得：t=6（s）；∴当t=6s时，四边形PQCD为平行四边形；②.如果P在线段AD的延长线上（见图示蓝色虚线）.则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，即3t-24=t，解得：t=12（s）；∴当t=6或12s时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．⑵.由题中条件可知BC-AD=2cm.过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E. 当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，易证△PFQ≌△DCE，EF=PD.∴QF=CE=2cm∴当CQ-PD=QF+CE=4cm时，四边形PQCD为等腰梯形；∴t-（24-3t）=4∴t=7（s）∴当t=7s时，四边形PQCD为等腰梯形. 变式:本例若题中的条件不变，把两个问改为“当t为何值时，PQ=CD?”又将作何解答？ 点评：解答本专题的两个例题要抓住题中不变的是什么？变的是什么？解题时更需要仔细识图，注意合理应用数形结合思想；由于是动点，要注意动点“活动”的范围，解答时要进行分段、分类讨论． 追踪练习： 已知矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为. ⑴.如图甲，连接.求证：四边形为菱形，并求的长； ⑵.如图乙，动点分别从出发，沿△和△各边匀速运动一周，即点自 →→→停止，点自→→→停止.在运动过程中： 已知点的速度每秒，点的速度每秒,运动时间为秒，当点四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值. 若点的运动路程分别为（单位：，），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，写出与满足的数量关系.（直接写答案，不要求证明） 1