函数基本初等函数的图像与性质.docVIP

专题一 第二讲 函数、基本初等函数的图像与性质 一、函数性质 1、函数单调性： 例1：已知在上是x的减函数，则a的值取范围是 。 答案：(1, 2) 2、函数图象的对称性与周期性 例2：设函数，且在闭区间[0，7]上，只有 （Ⅰ）试判断函数的奇偶性； （Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 解: (I)　由于在闭区间[0，7]上，只有，故．若是奇函数，则，矛盾．所以，不是奇函数． 由 ,　从而知函数是以为周期的函数． 若是偶函数，则．又，从而． 由于对任意的（3，7]上，，又函数的图象的关于对称，所以对区间[7，11）上的任意均有．所以，，这与前面的结论矛盾． 所以，函数是非奇非偶函数． (II) 由第(I)小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，并且．由于函数是以为周期的函数，故．所以在区间[－2000,2000]上，方程共有个解． 在区间[2000,2010]上，方程有且只有两个解．因为 ， 所以，在区间[2000,2005]上，方程有且只有两个解． 在区间[－2010,－2000]上，方程有且只有两个解．因为 ， 所以，在区间[－2005,－2000]上，方程无解． 　　综上所述，方程在[－2005,2005]上共有802个解. 二、分段函数： 例3：已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数， （1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）； （2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为） 解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于 （对所有实数）这又等价于，即 对所有实数均成立. （*） 由于的最大值为， 故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件 （2）分两种情形讨论 （i）当时，由（1）知（对所有实数） 则由及易知， 再由的单调性可知， 函数在区间上的单调增区间的长度 为（参见示意图1） （ii）时，不妨设，则，于是 当时，有，从而； 当时，有 从而 ； 当时，，及，由方程 解得图象交点的横坐标为 ⑴ 显然， 这表明在与之间。由⑴易知 综上可知，在区间上， （参见示意图2） 故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 ⑵ 故由⑴、⑵得 综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。 : 专题一 第二讲 函数、基本初等函数的图像与性质 班级_________________姓名____________________ 一、填空题： 1．若，则的取值范围是 。 2、若使得方程 有实数解，则实数m的取值范围为x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为 . 4、若函数（为常数）在定义域上为， ．是奇函数，则a= . 6、二次函数中，且，对任意，都有，设，则的大小关系为 。 7、已知函数的值为 。 8、对于在区间上有意义的两个函数和，如果对任意，均有, 那么我们称和在上是接近的．若与在闭区间上是接近的，则的取值范围是 ． 函数的图像经过四个象限的充要条件是 10、设定义为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是 。 11、已知是R上的单调函数，实数，，若，则的取值范围是 。 12、若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 。 13、 已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称； ②若f（x＋2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称； ③函数y＝f（2＋x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称； ④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称． 其中正确的命题序号是_________． 14、已知函数fx）＝｜x2－2ax＋b｜（x∈R）给出下列命题： ①fx）必是偶函数； ②当ff（2）时，fx）的图象必关于直线x对称； ③若ab≤0，则fx）在区面a，＋∞）上是增函数； ④fx）有最大值a2－b｜． 其中正确命题的序号是 二、解答题： 15、已知函数的定义域为实数集。（1）求实数m的所有允许值组成的集合M；（2）求证：对所有，恒有 。 16、已知函数，存在正数，使得的定义域和值域相同． （1）求非零实数的值； （2