初中数学_横看成岭侧成峰远近高低各不同.docVIP

横看成岭侧成峰 远近高低各不同 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学　赵国瑞 同是一枝梅花，有人赞叹它风骨傲霜，有人则感慨它孤寂落寞；同是一块石头，有人觉得它冥顽不化，有人则欣赏它坚韧固守；同样是半杯可乐，悲观的人说：“唉，只有半杯，”乐观的人说：“天啊，还有半杯．”同一种事物，理解缘何不同？其实很简单，人们观察事物的角度不同罢了． 在思维过程中善于改变看问题的角度，往往会收到意想不到的效果．因此我们要善于变换思考方式，尽可能地选择新视角，解决数学问题亦是如此． 例 (2010年山东青岛中考题)如图1，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要＿＿枚棋子，摆第n个图案需要＿＿枚棋子． 　　　　　　　 1 　　　　　　 图2 分析：解答此类问题要充分发挥数形结合的作用，注意从不同角度观察图形． 方法1 将图形分割成六边形 如图2，将图形分割成大小不同的六边形，从里向外，第1个六边形包含的棋子数为6×2-6=6×1，第2个六边形包含的棋子数为6×3-6=6×2，第3个六边形包含的棋子数为6×4-6=6×3，…，第n个六边形包含的棋子数为6(n+1)-6=6n，因此摆第n个图案需要的棋子数为6×1+6×2+6×3+…+6n+1=(1+2+3+…+n)×6+1=n(n+1)×6+1=3n(n+1)+1=3n2+3n+1． 说明：方法1用到了这样一个公式：1+2+3+…+n=n(n+1)，我们把它叫做高斯求和公式． 方法2 将图形分割成三角形 ①按如图3的方式将图形分割成六个全等的三角形，每个三角形包含的棋子数为1+2+3+…+n+1=(n+1)(n+2)，六个三角形包含的棋子数为(n+1)(n+2)×6=3(n+1)(n+2)，减去重复的六条边包含的棋子数6(n+1)，得3(n+1)(n+2)-6(n+1)=3n2+3n．由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了6次，减去重复的六条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子，所以结果应再加上这枚棋子，即第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1． 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　图3　　　　　　　　　　　图4 说明：在计算棋子数时要注意正确处理重复部分，既不能多算，也不能漏算． ②按如图4的方式将图形分割成六个全等的三角形，每个三角形包含的棋子数为1+2+3+…+n=n(n+1)，六个三角形包含的棋子数为n(n+1)×6=3n2+3n．加上正六边形的中心处的棋子，得第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1． 方法3 将图形分割成平行四边形 如图5，将图形分割成三个全等的平行四边形，每个平行四边形包含的棋子数为n(n+1)，3个平行四边形包含的棋子数为3n(n+1)，加上正六边形的中心处的棋子，得第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1． 　　　　　　　　　　　　　　　　 5 方法4 将图形分割成菱形 如图6，将图形分割成三个全等的菱形，每个菱形包含的棋子数为(n+1)2，3个菱形包含的棋子数为3(n+1)2，减去重复的三条边包含的棋子数3(n+1)，得3(n+1)2-3(n+1)=3n2+3n．由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了3次，减去重复的三条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子，所以结果应再加上这枚棋子，即第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1． 　　　　　　　　　　　　　　　　 6 方法5 将图形分割成平行四边形和菱形 ①按如图7的方式将图形分割成平行四边形和菱形，则平行四边形包含的棋子数分别为n(n+1)，两个菱形包含的棋子数为(n+1)2和n2，所以第n个图案需要的棋子数为n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 7 ②按如图8的方式将图形分割成平行四边形和菱形，则上面两个平行四边形包含的棋子数n(n+1)，下面两个平行四边形包含的棋子数为(n+1)2，中间菱形包含的棋子数为n2，所以第n个图案需要的棋子数为n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 8 方法6 将图形分割成菱形和三角形 如图9，将图形分割成两个菱形和两个三角形，则每个菱形包含的棋子数为(n+1)2，每个三角形包含的棋子数为1+2+3+…+n+1=(n+1)(n+2)，两个菱形和两个三角形包含的棋子数为2(n+1)2+(n+1)(n+2)=3n2+7n+4．减去重复的四条边包含的棋子数4(n+1)，得3n2+7n+4-4(n+1)=3n2+3n．由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了4次，减去重复的四条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子，所以结果应再加上这枚棋子，即第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．