初中数学竞赛精品标准教程及练习37不等关系.docVIP

初中数学竞赛精品标准教程及练习(37) 不等关系 一、内容提要 不等式三个基本性质： 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。 设ab,不等式组 的解集是xa 的解集是xb 的解集是 bxa 的解集是空集 几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。 直角三角形中，斜边大于任一直角边。 有两组边对应相等的两个三角形中 如果这两边的夹角大，那么第三边也大； 如果第三边大，那么它所对的角也大。 ⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和 二、例题 例1. 已知：x≤2，求下列代数式的取值范围：①7－3x,　　② 解：①∵x≤2，　 ∴两边乘以－3，得　－3x≥－6 　两边加上7，　得　7－3x≥7－6 ∴7－3x≥1 ②设＝y, x+1=xy, (y－1)x=1　　x=≤2， 在两边乘以y－1时，根据不等式基本性质2和3，得不等式组： 　　或 　　　　　或 ∴y≥1.5　或y1 即≥1.5或＜1 例2.设实数a,b满足不等式＜，试决定a,b的符号。 解：∵不等式两边都是非负数，∴两边平方不等号方向不变 两边平方得，a2－2(a+b)+(a+b)2a2－2a(a+b)+(a+b)2 化简，得（a+b）a， 可知　a≠0，a+b≠0 两边除以得，a+b 显然不等式要成立，只有， 故a0 由此得a+b－， 显然只有a+b0, 又∵a0,　　 故b0 ∴a,b的符号是：a0, b0 例3.已知：O是△ABC内的一点 求证：＜＜1 分析：本题实质是要证明2（OA＋OA＋OC）＞AB＋BC＋CA① 且OA＋OB＋OC＜AB＋BC＋CA②　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：①∵OA＋OB＞AB　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　OB＋OC＞BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　OC＋OA＞CA　　　　　　　 　∴2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②延长BO交AC于D， ∵AB＋AD＞OB＋OD，　OD＋DC＞OC ∴AB＋AC＞OB＋OC，同理AB＋BC＞OA＋OC，BC＋CA＞OA＋OB 即2（AB＋BC＋CA）＞2（OA＋OB＋OC） 　∴＜＜1 例4.求证直角三角形两条直角边的和，小于斜边与斜边上的高的和 已知：△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB于D 求证：CA＋CB＜AB＋CD 证明：设CD＝h,　a,b,c是∠A，∠B，∠C的对边 根据勾股定理，a2+b2=c2,　　∴a2+b2＜c2＋h2 ① 根据三角形面积公式ab=ch ∴2ab＝2ch ② 　①＋②：　（a+b）2(c+h)2 ∵a+b0, c+h0 ∴a+bc+h 又证明：（用求差法）假设同上 　由ab=ch,得 h= (a+b)－(c+h)=a+b －c－ ＝ ＝ ∵c0, a－c0, c－b0 (直角三角形中斜边大于任一直角边) ∴ (a+b)－(c+h)＜0 ∴ (a+b)＜(c+h) 再证明：学完四点共圆后，可证CA－CD＜AB－CB 在AB上截取BE＝BC，在AC上取CF＝CD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 两等腰△BCE和△CDF 顶角∠B=∠DCF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴底角∠2＝∠1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴四边形CDEF是圆内接四边形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠EFA＝∠CDE＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴AFAE ，即AF－CFAB－BE ， AC－CDAB－CB ∴CA＋CB＜AB＋CD　 例5.已知：△ABC中，D，E分别在BC，AC上，∠B＝∠1＝∠2 　如果△ABC，△ADC，△EBD的周长依次为m,n,p 求证：　 证明：设BC