初中数学竞赛精品标准教程及练习41线段的比积幂.docVIP

初中数学竞赛精品标准教程及练习（41） 线段的比、积、幂 一、内容提要 一．有关线段的比、积、幂的主要定理 比例的基本性质：　合比，等比定理（略） 平行线分线段成比例定理（即平行截线定理）的推论 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 DE∥BC 推广到：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　a∥b 相似多边形性质：对应线段成比例，面积比等于相似比的平方 直角三角形中成比例线段定理（射影定理） 　　　　　　　　　　　　　 三角形内（外）角平分线性质 在△ABC中 ∠1＝∠2 圆中成比例线段定理（即圆幂定理） 若ABCD四点共圆， AB、CD交于P， 则PA×PB＝PC×PD ＝PT2 （PT切圆于T） 三角形、平行四边形面积公式（略） 8.正弦定理：在△ABC中， 二．要运用相似三角形证明线段的积、幂，一般应把积、幂先化为比例式，然后由它来找相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。 二、例题 过四边形ABCD的对角线交点O画CD的平行线，分别与边BC，AD及AB的延长线交于E，F，G求证：GO2=GEGF 证明：设DC，AB的延长线相交于H， 　∵FG∥DH， 从过点B的线束被平行线截得 从过点A的线束被平行线截得 ∴　　　即GO2＝GEGF 例2.已知：CD是Rt△ABC斜边上的高，角平分线AE交CD于F 求证：CE2＝DF×BE 分析：要CE2＝DF×BE成立，应证 可证CE＝CF（等角对等边），即证 根据角平分线性质可得 ， 只要AC2＝ABAD这符合直角三角形中成比例线段定理 证明　（略） 例3.已知：△ABC中最大角A是最小角C的2倍，三边长是连续整数　 求：△ABC的各边长 解：设AC为x, 则AB是x-1,BC为x+1 延长CA到D使AD=AB，连结BD，BA 则∠D＝∠1　　　　　　　　　　 ∵∠BAC＝∠1＋∠D＝2∠D， ∵∠BAC＝2∠C，　∴∠1＝∠D＝∠C ∴等腰△ABD∽等腰△BCD ，，解得x=5, ∴三边长分别为4,5,6 ( 本题也可作∠BAC的平分线AE，证明△EAB∽△ACB) 例4. 已知：⊙O和⊙O1相交于P，外公切线AB，A，B是切点，AP交⊙O于C，BP交⊙O1于D，CE和⊙O1切于点E 求证：CE＝CB 证明：过点P作两圆公切线PQ交AB于Q 由切线长定理，得QP＝QA＝QB ∴△APB是Rt△，∠APB＝Rt∠ ∴BC是⊙O的直径，BC⊥AB 根据射影定理，得BC2＝CP×CA ∵CE切⊙O1于E， 根据圆幂定理，得CE2＝CP×CA ∴CE＝CB 例5.正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ面积是 S1＝1，S2＝3，S3＝1。那么正方形OPQR的边长是（　　） （A） （B） (C)2 (D)3　 解：设正方形OPQR的边长为x， ∵S2＝3，S3＝1　∴BP＝，QC＝， ∵OR∥BC，∴△AOR∽△ABC ∴　＝ 即=　解得（x4－16）(x2+4)=0　　∴x=2　 本题也可以求出△ABC的高为＋x, 用面积公式列方程。 三、练习41 线段a,b满足等式a2+ab-b2=0 则a ：b=＿＿＿＿ △ABC中D，E三等分BC，中线BF分别交AD，AE于M，N，那么 BM∶MN∶NF＝＿＿＿ △ABC中，点D内分BC为1∶3，点E内分AD为1∶2，BE的延长线交AC于F，则AF∶FC＝＿＿＿ 求证：有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比 经过平行四边形ABCD顶点A画直线，分别交BD，BC及DC的延长线于E，F，G。求证：EA2=EF EG 在△ABC内任取一点G，分别延长AG，BG，CG交对边于D，E，F求证：（西瓦定理） 已知：AD是△ABC的中线，点M，N分别在边AB，AC上，AM＝AN求证： CD是Rt△ABC斜边上的高，O是CD的中点，AO延长线交AC于E， EF⊥AB于F，FE的延长线和AC的延长线相交于G，则EF2＝EC×EB 已知：平行四边形ABCD中E，F分别在AB，AD上且EF∥BD，CE，CF分别交BD于P，Q。求证：BP＝DQ 已知：正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交BD于F求证：⑴BE＝BF　⑵CE＝2FO 已知：△ABC中，D，E分别在边了BC，AB上，∠B＝∠CAD＝∠ADE如果△ABC，△EBD，△ADC的周长为m,m1,m2 求证： 如图已知：点B在⊙A上，⊙A和⊙B相交于 C，D，⊙A的直径CE交⊙B于F 　求证：2CB2＝CE×CF 选择题 △ABC中，AD是高，且AD2＝BD×DC， 那么∠BAC的度数是（　　） 小于90，（B）大于90，（C）等于90，（D）不能确定