初中数学竞赛精品标准教程及练习63动态几何的定值.docVIP

初中数学竞赛精品标准教程及练习(63) 动态几何的定值 一、内容提要 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系. 用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类.　例如： 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线； 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上； 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长定理等等. 动态几何的轨迹、极值和定值.　几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题.　例如： 半径等于RA的圆A与半径为RB　(RBRA)　的定圆B内切.那么：　 动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RB－RA的长为半径的圆.　而A，B两点的距离，却始终保持不变：AB=RB－RA. 若另有一个半径为RC的圆 C与圆B外切，则A，C两点的距离变化有一定的范围： RB+RC－(RB－RA)≤AC≤RB+RC+(RB－RA). 即RC+RA≤AC≤2RB+RC－RA . 所以AC有最大值：2RB+RC－RA ； 且有最小值：RC+RA. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ： 先探求定值.　它要用题中固有的几何量表示. 再证明它能成立. 探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明. 第二种是采用综合法，直接写出证明. 二、例题 例1.　已知：△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F. 求证：PE＋PF有定值. 分析：（探求定值）用特位定值法. 把点P放在BC中点上.　这时过点P的垂线与AB，AC的交点都是点A， PE＋PF＝2PA，从而可确定定值是底上的高的2倍. 因此原题可转化： 求证：PA＋PB＝2AD　（AD为底边上的高）. 证明：∵AD∥PF， ∴；　. 　　　∴. 即. ∴PE＋PF＝2AD. 把点P放在点B上.　 这时PE＝0，PF＝2AD（三角形中位线性质）， 结论与①相同. 还可以由PF＝BC×tanC，把定值定为：BC×tanC. 　　　　即求证PE＋PF＝BC×tanC.　（证明略） 同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可. 例2.　已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上 求证：PA2＋PB2有定值. 分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r. 点P放在直径AB上. 得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（. R－r）2＝2（R2＋r2）. 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上 也可得PA2＋PB2＝ R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）. 证明：　设∠POA＝α，根据余弦定理，得 PA2＝R2＋r2－2RrCosα，　PB2＝R2＋r2－2RrCos(180－α). ∵Cos(180－α)＝Cosα. ∴PA2＋PB2＝2（R2＋r2）. 本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA，PB与R,　r的关系式，关键是引入参数α. 例3.　已知：△ABC中，AB＝AC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F. 求证：有定值， 分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a,　b,　c来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明. 证明：设MP为t, 则NP=a－t. ∵MN∥BC， ∴，　. 即； ∴= ∵c 是定线段，∴是定值. 即有定值. 例4.　已知：在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C. 求证：∠ACB有定值. 分析：　⊙M是△ABC的内切圆，∠AMB是以定线段AB为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理Sin∠AMB=)， 所求定值可用它来表示. 证明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB， ∵M是△ABC的内心， ∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB). ∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA） =180－2(180－∠AMB) = 2∠AMB－180. 由正弦定理，　∴Sin∠AMB=. ∵弧AB所在圆是个定圆，弦AB和半径R都有定值， ∴∠AMB有定值. ∴∠ACB有定值2∠AMB－180. 三、练习63 1.　用固有的元素表示下列各题中所求的定值　(不写探求过程和证明)： ①.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是___________. ②.等边三角形内