初中数学经典动点问题.docVIP

动点问题的几何题应该怎么答? 动态几何问题解法指要 以运动中的几何图形为载体构建的综合题称动态几何问题，其已成为各地市中考压轴题的首选题型。由于这种能把三角、平几、函数、方程等集于一身的题型灵活性强、难度较大，广大考生均感棘手。今析解两例，望对同学们有所启迪。 动态几何问题解法指要： 1. 考虑运动全貌，善于“动”中捕“静”，并能以“静”制“动”。对运动全过程的深刻把握，有助于抓住运动中的某些关键时刻（静止），同时便于站在更高角度鸟瞰全局，不致以偏概全。 2. 善于“数形结合”。以数折形，精确；以形论数，直观。 例1. 已知：如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设。 （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合； （3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）。 分析：考虑运动全貌，明了运动变化趋势，找到关键点，可以知晓如下情况：（参见图2） 图2 1. P与B重合时（假设能重合），E、B重合，F为AC中点，（见图中四点）；P与A重合时，E为BC中点，（见图中四点）；P在线段BA上由B至A运动时，E从向运动，F从向运动，Q从向运动，即P、Q互相靠近；于是，EP、FQ＝直线的交点经历由△ABC外到AB边上到△ABC内的过程； 2. 如图1所示为运动过程的一个情形，借助三角函数容易由BP→BE→EC→CF→AF→AQ完成过渡，找到y与x关系； 图1 3. P、B重合，P、Q重合，P、A重合是三个关键时刻，是分情况讨论的基础。 解：（1）在Rt△BEP中， ∴ 同理， AF＝AC－CF＝1＋ AQ＝AF×cos60°＝ （2）如图3，当P、Q重合时， 图3 ∴ ∴ （3）如图4，设三角形的周长为c 图4 则 第（3）步解析： 易证∠OEF＝∠OFE＝60° 则△OEF为正三角形，求周长范围转为求3EF范围，而 EF＝EC×sin60°＝ ∵PE、FQ相交时， ∴ ∴－1≤2－ ∴ 例2. 如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E。 （1）试确定CP＝3时，点E的位置； （2）若设CP＝x，BE＝y，试写出y与自变量x的关系式； （3）若在线段BC上能找到不同的两点，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求a的取值范围。 图5 分析：随着a值及点P在BC上位置的变化，运动过程中可能出现以下几种状态： ①图7中，易分析得DP⊥BC时，CP＝3，此时E与B重合； ②图6、图8、图9中，均易得∠PDH＝90°－∠DPH＝∠EPB，从而△PDH∽△EPB，进而利用比例线段确定y与x关系式； ③对于图10，若E与A重合且∠EPD＝90°，则必有在以AD为直径的圆上，亦即BC与此圆相交，由此可确定a的取值范围，这体现了数形结合的优势。 图10 解：（1）过D作DH⊥BC于H，则四边形ABHD为矩形，BH＝AD＝9 ∴CH＝12－9＝3 ∴当CP＝3时，P与H重合，此时E与B重合 （2）无论点E在BA的延长线上，在线段AB上或在AB的延长线上，都有 ∠PDH＝90°－∠DPH＝∠EPB 故有△PDH∽△EPB ∴，其中 PB＝BC－PC＝12－x I：当0≤x＜3时， E在AB延长线上，PU＝3－x　　　∴ II：当3≤x＜12时， E在射线BA上，PH＝x－3 ∴ （3）若在线段BC上，E与A重合，又∠EPD＝90° ∴在以AD为直径的圆上 即此圆与直线BC相交 故有