电阻电路的基本分析方法(学生用)2.docVIP

第三章 电阻电路的基本分析方法 §3.1 网络图论的概念 一、基本概念、术语及定义 1. 图的概念及定义 对于一个由集中参数元件组成的网络N： 支路线段（线段的长短、曲直无关紧要） 节点黑点 得到一个由线段和黑点组成的图形。 G称为网络N的线图（拓扑图），简称图。 网络N1 网络N1的图G1 网络N2 N2的G2 图: 一组节点和支路的集合，其中每一条支路的两端都终止在节点上。 子图──如图图G1的节点和支路都是图G的节点和支路，则图G1是图G的一个子图。 G G1 G2 G3 关联参考方向 在拓扑图中，支路电流与支路电压选取关联的参考方向。 定向图──标有电流参考方向的图，也称有向图。 由于采用了关联参考方向，定向图中只画出电流的参考方向。 连通图和非连通图 连通图──一个图G，当任意两个相异的节点之间至少存在一条通路时，否则──非连通图。 连通图由1个独立部分组成，非连通图至少有两个独立部分。 平面图和非平面图 平面图──一个图G能在平面画上，而没有任何支路的交叉（这些交叉点不是节点）。 非平面图──它是一个立体图。 平面图 平面图 平面图 非平面图 非平面图 回路──构成闭合路径的那些支路的一个集合，如果在该回路中任意移去一条支路，则剩下的支路就不再构成闭合路径。 在图论中，常会提到移去一条支路，这指的是移去一条线段，而该线段的两个端点仍然要保留着。 网孔──在平面图上，网孔是一个回路，但在此回路所包围的区域内，不能包含有其它支路。（即网孔是一个最短的闭合路径）。 网孔能在平面图上像渔网的孔那样立即辩认出来。 注意：网孔这个概念只适用于平面图。 2. 树、树支、链支 树（Tree）是图论中一个十分重要的概念。 树的定义： 设G是一个连通图，T是G的一个子图，当T同时满足下列三个条件时，则称T是G的一个树。这三个条件是 ①T是一个连通的子图； ②T包含G的全部节点； ③T中不包含回路。 G T1 T2 T3 以上是图G及其几个不同的树。 这几个都不是上图的树。 不连通 未包含全部节点 形成了回路 树支──组成树T的支路称为树支。 链支──不包含在树内的支路称为链支路，简称链支。上图中，当选取T1为树，支路1、3、4称为树支，支路2、5、6称为链支。 二、几个图论的定理 对一具有n个节点，b条支路的连通图G，给定一个树T，则 1. 在任意一对节点之间，有且仅有一条由一些树支所构成的路径。 证明：如果在连通图G中，在节点①、②之间没有树路径，则表明树没有包含所有的节点或所选取的树是不连通的；如果在节点①、②之间有两条由一些树支路所构成的路径，那末树T包含有回路。以上假设都违背了树的定义，所以在一对节点之间有且仅有一条树路径。 2. n－1条树支路和b－n＋1条链支路 证明：当画第一条树支路时，它连着两个节点。因为树必须包含图的全部节点，以及不包含有回路，所以在连接其余n－2个节点时，每连接一个节点，必须且只能画出一条树枝，这样，连接剩余n－2条树枝支路。连同画出的第一条树支路一起，连接n个节点总的树支数就是1+(n－2) = n－1条。 给定的支路数为b，链支数为b－(n－1)=b－n+1条。 3. 每一条链支路可与其两个端点之间的唯一的一条树路径，构成一个唯一的回路，这些回路称为基本回路，或叫单链支回路。 证明：由于每一条链支路都与图G的两个节点相连接，定理1已经证明了在任意一对节点之间有且仅有一条树路径，所以每一条链支路只能和与之相接的一条树路径构成一个回路，这个回路当然也是唯一的。 补充：4. 欧拉公式：（Euler formula） 对一连通的平面图G，当节点数为n，支路数为b时，则图的网孔数为L= b－n＋1。 用数学归纳法证明： (a) (b) ① 设一单网孔的图，如图a所示。 n = 4, b=4， 则 L= b－n＋1 等式成立 ② 在图b中，先假定等式对具有L个网孔的图是成立的（即在L个网孔的图中，有b条支路，n个节点， L= b－n＋