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直线与圆全攻略 河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组（472200）赵建文 李锋 直线与圆是高中数学重要内容之一，是运用代数方法处理几何问题的基础性内容，是高考考查的重点和热点，为了使同学们更好的掌握这部知识和方法，本文对直线与圆的考点作全面解读，供同学们复习时参考. 【考点及要求】 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的斜率与倾斜角的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.能根据两直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，了解斜截式与一次函数的关系. 5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 7.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离. 8.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 9.能根据给定的直线、圆的方程判定直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判定两圆的位置关系. 10.能用直线和圆的方程解决一些简单问题. 11.初步了解利用代数方法处理几何问题的思想. 【考点归纳分析】 考点一.直线方程 对直线方程，常与函数、数列、向量、圆锥曲线、导数等结合，考查根据已知条件求直线方程或求曲线的切线方程，或已知直线方程确定直线的倾斜角、斜率、截距、图像等，或已直线在坐标系中的图像确定直线的斜率、倾斜角、截距等，常以选择题或解答题的一部分形式出现. 解题注意应用相关知识. 1.倾斜角与斜率 例1 (2010湖南文14)若不同两点P,Q的坐标分别为（，），（，），则线段PQ的垂直平分线的斜率为 . 圆关于直线对称的圆的方程为 . 审题要津;先用过两点的斜率公式求出直线PQ的斜率，再由PQ与垂直，求出的斜率，写出方程，求出已知圆圆心关于的对称点坐标即为所求圆的圆心，半径等于已知圆，从而求出所求圆方程. 解析：∵==1，线段PQ的中点为（,）,PQ⊥，∴直线的斜率为==，∴：=0, ∴圆心(2,3)关于的对称点为（0,1）， ∴圆关于直线对称的圆的方程为：=1. 【点评】本题考查中点公式、直线的斜率公式、直线点斜式方程、点关于直线对称、两直线垂直的充要条件、圆的方程，属难题. 策略指导：对直线的斜率与倾斜角问题，要理解斜率和倾斜角的关系，掌握过两点的斜率公式，给出直线一般方程（A、B不同时为0），当B≠0时，直线斜率为，当B=0时，直线斜率不存在，倾斜角为.对已知直线斜率求倾斜角问题，结合正切函数图像求解，注意倾斜角的范围.注意：当直线的斜向右上方向时，直线斜率为正、倾斜角为锐角；当直线与轴垂直式，直线斜率不存在、倾斜角为；当直线斜向左上方向时，直线斜率为负值、倾斜角为钝角. 2.直线方程 例2 (2009江苏）在平面直角坐标系中，已知圆,若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； 审题要津:本题是直线与圆的弦长问题，利用点到直线的距离公式和垂径定理处理. 解析：设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离， 结合点到直线距离公式，得： 化简得： 求直线的方程为：或，即或 【点评】本题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力. 策略指导：对求直线方程问题，常用待定系数法，即根据已知条件，首先确定采用直线方程的形式，然后确定其中相关的待定常数，如斜率、截距等. 注意直线各种方程成立的条件，最后一定要把直线方程化为一般式. 考点二 两直线位置关系 平行与垂直是两直线位置关系中的两类重要位置关系，是高考考查的重点和热点，常与曲线的切线、平面向量、三角函数、导数等知识，考查的题型常有三类：（1）已知两直线方程判定位置关系；（2）已知两直线位置关系和直线方程求参数；（3）已知两直线位置关系和其中一条直线方程求另一直线方程.常以小题或大题的一部分形式考查. 1 垂直 例3（2010年高考山东卷理科16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 ． 审题要津: 先设出圆心坐标，利用垂径定理求出圆心，利用所求直线与求出所求直线斜率，再写出所求直线方程 解析：由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知： ，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为. 【点评】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力，属于中档题. 策略指导：对两直线垂直问题，要掌握两直线垂直的充要条件：=－1或一条直线斜率为0另一条直线斜率不存在，当直线方程含参数时，注意分斜率存在和不存在