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第11讲 立体图形 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算题， 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图111所示的立体图形，问该图形的表? 【分析与解】显然，图111的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等3×3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小7个小正方形的面积，(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，而每个小正方l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米． 2．如图112，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? 【分析与解】 原来正方体的表面积为5 5×6=150． 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积(3×2)×2=12，12÷150=008=8％． 即表面积减少了百分之八． 3．如图113，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．60块长方体表面积的和是多少平方米? 【分析与解】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面 现在一共切了(31)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)． 原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表6+18=24(平方米)．4．图114中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘4个边1厘米的正方形． 从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米． 5．图115是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖1厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】 因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个4个面． 所以，最后得到的立体图形的表面积是： 2×2×6+1×l×4+×××4+××4=2925(平方厘米)．6．有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把6厘米和4【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为3×3×006：054立方米； 放在小水池里的碎石的体积为2×2×004=0.16立方米； 则两堆碎石的体积和为054+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为6×6=0.7÷36=米=厘米=厘米 7．如图116，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2? 【分析与解】 容器的底面积是(134)×(9-4)=45(平方厘米)，高为2 45×2=90(立方厘米)． 8．今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的? 【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21：15：125：4，为了叙述方便，我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体 易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为32厘米时符合要求．是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三12厘米、9厘米、6厘米． 所以剩下的体积应为： 21×5×12-()=1107(立方厘米)． 9．如图117，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单? 【分析与解】 圆锥的体积是，圆柱的体积是． . 10．张大爷去年用长2米、宽1米的长方苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析与解】底面周长是3，半径是，所以今年粮囤底面积是，高是2． 同理，去年粮囤底面积是，高是1． 4.5倍． 11．一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深12厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求? 【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积（厘米）； 它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形． 底面积为，水的体积保持不变为． 所以有水深为(厘米)，小于容器的高度厘米，显然水没有溢出 于是厘米即为所求的水深． 12．如图ll8，用高都是1米，底面半径分别为15米、1米和05米的?(取3．14) 【分析与解】 物体的表面积恰好等于一