第3节圆的方程.docVIP

第3节　圆的方程 一、圆的定义与方程 1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. 2.圆的方程 标准 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心(a,b),半径r 一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) 圆心 半径 质疑探究:二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是什么? 提示: 练习 1.已知圆的圆心为P(-2,3),并且与y轴相切,则该圆的方程是(　B　) (A)(x-2)2+(y+3)2=4 (B)(x+2)2+(y-3)2=4 (C)(x-2)2+(y+3)2=9 (D)(x+2)2+(y-3)2=9 解析:圆与y轴相切, 则r=|-2|=2, 即所求圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=4. 故选B. 2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(　A　) (A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1 (C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x2+(y-3)2=1 解析: 设圆心坐标为(0,b), 则由题意知=1, 解得b=2, 故圆的方程为x2+(y-2)2=1. 故选A. 3.确定一个圆的最基本要素是什么? (圆心和半径) 4.圆的方程一般有哪几种形式? (标准方程和一般方程) 5.圆的一般方程在代数形式上有何特点? ((1)x2,y2的系数相同且为1,(2)不含xy项) 二、点A(x0,y0)与☉C的位置关系 1.几何法:(1)|AC|r?点A在圆内; (2)|AC|=r?点A在圆上; (3)|AC|r?点A在圆外. 2.代数法:(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2?点A在圆内; (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2?点A在圆上; (3)(x0-a)2+(y0-b)2r2?点A在圆外. 练习 1.若点(2,3)在☉C:(x-1)2+(y-2)2=r2外,则(　D　) (A)r= (B)r (C)r(D)-r 解析:由题意得,(2-1)2+(3-2)2r2, ∴r22, ∴-r,故选D. 一．求圆的方程 【例1】 求过点A(6,0),B(1,5),且圆心C在直线l:2x-7y+8=0上的圆的方程. 解：法一　设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 由已知,得 解得 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13. 变式训练11:求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程. 解： 法二　过切点P且与l垂直的直线是 y+2=x-3,即x-y-5=0. 由,得圆心(1,-4), 于是r=2, ∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 二．与圆有关的最值问题 【例2】 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值. 解：(1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,半径为的圆. 设=k,即y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时有=,解得k=±. 故的最大值为,最小值为-. (2)设y-x=b,即y=x+b,当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=, b=-2±. 故(y-x)max=-2+,(y-x)min=-2-. (3)x2+y2表示圆上点与原点距离的平方,由平面几何知识知在原点和圆心连线与圆的两个交点处x2+y2取得最大值或最小值. 又圆心到原点的距离为2, 故(x2+y2)max=(2+)2=7+4, (x2+y2)min=(2-)2=7-4. 三．与圆有关的轨迹问题 【例3】动点P向两圆x2+y2-2=0与x2+y2-8x+10=0所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程为　　　　　.? 解析：两圆方程可化为x2+y2=2,(x-4)2+y2=6. 设点P的坐标为(x,y), 依题意,可得()2-()2 =()2-()2, 化简得x=.答案：x= 1.(高考四川卷)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　D　) (A) (2,3) (B) (-2,3) (C) (-2,-3) (D)(2,-3) 解析:圆x2+y2-4x+6y=0, 化为标准形式为(x-2)2+(y+3)2=13, ∴圆心的坐标为(2,-3). 故选D. 2.(高考辽宁卷)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为　.? 解析:设圆的方程为(x-a)2+y2=r2, 由圆过A(5,1),B(1,3)两点, 得, ∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10. 答案:(x-2)2+y2=10 3．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2