第41讲直线与平面的位置关系(第1课时-证线面平行).docVIP

第 41 讲 直线与平面的位置关系-证线面平行 （第1课时） 直线与平面的位置关系 重点：1．直线和平面的位置关系；2．直线和平面平行、垂直的判定和性质应用；3．三垂线定理及其逆定理；4. 直线和平面所成的角。 难点：1．线线平行垂直与线面平行垂直的转换；2．求线面夹角。 1．掌握定理；2．掌握斜线在平面上的射影、线面角、线面距离；3．了解三垂线定理及其逆定理。 1．直线和平面平行、垂直的判定和性质；2．线面角；3．三垂线定理及其逆定理；4.有时会与集合、函数、三角或解析几何综合命题，形成几个阶梯性的小题。 1. 直线和平面的位置关系 直线和平面的位置关系有三种：。 注意：“直线和平面不相交”、“直线和平面没有公共点”不是一回事，前者包括平行以及直线在平面内两种情况，而后者仅只平行一种情况。 ⑴ 平行 定义：若一直线和一平面没有公共点，则称这直线和这平面平行。 判定定理：①若平面外的一条直线和这平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。②两平行平面之一内的直线平行于另一个平面。 性质定理：若直线和平面平行，过这直线的平面和已知平面相交，那么这条直线平行于交线。 线面距离：若直线和平面平行，则这条直线上的任一点到这平面的距离叫做这直线和这平面间的距离。直线和平面间的距离处处相等。 ⑵ 相交 线面相交的定义：若一条直线和一个平面只有一个公共点，则称这条直线和这平面相交。 线面垂直的定义：若一条直线和平面内的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直。这条直线叫做这个平面的垂线，这个平面叫做这条直线的垂面，此时线面的交点叫做垂足。 注意：过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个。过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条。 线面垂直的判定定理：①如果一条直线和一个平面内的两相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。②两平行线之一垂直于平面，则另一直线也垂直于平面。③垂直于两平行平面之一的直线必垂直于另一平面。④两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。 线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。 线面斜交的定义：一条直线和一个平面相交但不垂直，称这条直线和这个平面斜交。交点叫做斜足，这条直线叫做平面的斜线。 点在平面内的射影：从一点向一个平面引垂线，则垂足叫做这点在在这平面内的射影。这个平面叫投影面，这条垂线叫投射线。 线段在平面内的射影：当线段垂直投影面时，射影为一点，即垂足；当线段不垂直投影面时，射影为一线段。当原线段平行于投影面或在投影面内时，射影与原线段相等；当原线段与投影面斜交，所成的角为，射影长等于原线段长乘以。 斜线在平面内的射影：从平面斜线上的一点（非斜足）向这平面引垂线，过垂足和斜足的直线，叫做这条直线在这个平面内的射影。 注意：当直线垂直投影面时，射影为一点，即垂足；当直线不垂直投影面时，射影为一直线。这个射影和原直线共面，并且这个平面垂直投影面。 三垂线定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在这平面内的射影垂直，那么这条直线和这条斜线垂直。（记为“垂影必垂斜”） 三垂线逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线和这条斜线在这平面内的射影垂直。（记为“垂斜必垂影”） 三垂线定理及其逆定理的应用：①证明线线垂直，特别是异面直线垂直；②作二面角的平面角；③把某些空间图形转化为平面图形；④把证面面垂直的问题转化为证线面垂直的问题。 平面的垂线长：从平面外一点向这平面引垂线，这点到垂足间的线段的长叫做这点到这平面的垂线长。 平面的斜线长：从平面外一点向这平面引斜线，这点到斜足间的线段的长叫做这点到这平面的斜线长。如果有两条斜线与平面的夹角相等，且其斜线长相等，则这两斜线段在这平面内的射影长相等，反之若两射影长相等，则两斜线长相等。从平面外一点引垂线和斜线，以垂线长为最小。 点到平面的距离：从一点向一平面引垂线，其垂线长叫做这点到这平面的距离。 ⑶ 直线和平面所成的角 定义：平面的斜线和它在这平面内的射影所夹的锐交叫做这条斜线和这个平面所成的角。平面的垂线和这平面所成的角规定为直角。在平面内的直线或与平面平行的直线和这平面所成的角规定为0。斜线和平面所成的角是斜线和这平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 范围：直线和平面所成的角的取值范围是 。 注意：①作线面夹角的关键是作射影，而要作射影，只有先找出过斜线上除斜足外任一点而垂直于平面的垂线的垂足；②直线和平面所成角的定义是分三种不同情况进行的，解题时应防止遗漏。 2．证线面平行的方法证线面平行的与内的一条直线平行。理论依据是“线面平行的判定定理”。 ②证过的平面∥。理论依据是“