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第43课时 正方形 ●目标导航 1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： 2.【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质1：正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 性质2：正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 3.正方形的判定方法 [探究] 操作1 你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？并请你把刚才 所做的实验用图形表示出来。然后与邻位同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？ 正方形的判定1 有一组邻边相等的矩形是正方形。 操作2 你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？请演示并画出图形。 正方形的判定2 有一个角是直角的菱形是正方形。 ●师生互动 共解难题 例1求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO例2已知：如图， 分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得。 证明：四边形ABCD是正方形， AOE=∠DOF=90°，AO=DO正方形的对角线垂直平分且相等又DGAE，EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90° ∴∠EAO=∠FDO ∴△AEO ≌△DFO ∴OE=OF 例已知：如图，四边形ABCD是正方形点A、C求证：四边形是正方形 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论。 证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1， ∴PN∥QM，∠PNM=90°∵PQ∥NM， ∴四边形PQMN是矩形 ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）∴∠1+∠2=90° 又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3。 ∴△ABM≌△DAN ∴AM=DN 同理 AN=DP∴AM+AN=DN+DP 即MN=PN∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 2.下列命题是真命题的是（ ）。 A.有一个角是直角的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的四边形是菱形 C.有三个角是直角的四边形是矩形 D.有三条边相等的四边形是菱形 3.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（ ）。 A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形 C.矩形和正方形 D.菱形和正方形 4.矩形的两条对角线把这个矩形分成了四个 三角形。菱形的两条对角线把这个菱形分成了四个 三角形。正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个 三角形。 5.正方形的边长为，则它的对角线长 ，若正方形的对角线长为，它的边长为 。 6.已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线， DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。求证：四边形CEDF是正方形。 参考答案： 1.C 解析：根据正方形的特有的性质而且菱形不具有的性质来判断。 2.C 解析：根据矩形的判定方法,四个角相等的四边形是矩形。 3.C解析：正确理解题意要求,到四边形的各顶点的距离相等的点这个条件得到对角线的互相平分且相等的四边形。 4.等腰，直角，等腰直角。 5.，解析：第一步根据正方形的性质及勾股定理求对角线的长,第二步将正方形的问题转化为方程问题。 6.∵CD平分∠A