第4节直线平面平行关系的判定与性质.docVIP

第4节 直线、平面平行关系的判定与性质 一、直线与平面平行 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为线线平行?线面平行) ?l∥α 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行?线线平行) ?a∥b 练习 1.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题: ①若a∥b,b?α,则a∥α; ②若a∥b,a∥α,则b∥α; ③若a∥α,b∥α,则a∥b. 其中真命题的个数是(　A　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:对于命题①,若a∥b,b?α, 则应有a∥α或a?α,所以①不正确; 对于命题②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b?α,因此②也不正确; 对于命题③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是错误的. 综上,在空间中,以上三个命题都是错误的.故选A. 2.如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和平面平行吗? (不一定,可能平行可能在平面内) 3.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗? (不一定,平行或异面) 二、平面与平面平行 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”) ?α∥β 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 ?a∥b 质疑探究1:(1)能否由线线平行推证面面平行? (2)能否由线面垂直推证面面平行? 提示:(1)可以,只需一平面内两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线,则两平面平行. (2)可以,只需两平面垂直于同一直线,即得面面平行. 质疑探究2:如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面,那么两个平面一定平行吗? 提示:不一定.如果这无数条直线都平行,则这两个平面就不一定平行,可能相交,此时无数条直线都平行于交线. 练习 1.平面α∥平面β的一个充分条件是(　D　) (A)存在一条直线a,a∥α,a∥β (B)存在一条直线a,a?α,a∥β (C)存在两条平行直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α (D)存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 解析:对于选项A,当α、β两平面相交,直线a平行于交线时,满足要求,故A不对;对于B,两平面α、β相交,当a在平面α内且a平行于交线时,满足要求,但α与β不平行,故B错;对于C,同样在α与β相交,且a、b分别在α、β内且与交线都平行时满足要求,故C错;故只有D正确,因为a、b异面,a∥β,故在β内一定有一条直线a与a平行且与b相交,∴a∥α,又∵b∥α,a与b相交,∴α∥β.故选D. 2.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列命题: ①若m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α∥β; ②若m、n是相交直线,且m∥α,m∥β,n∥α,n∥β, 则α∥β; ③若m∥α,α∥β,m∥n,则n∥β; ④若n∥α,n∥β,α∩β=m,那么m∥n. 其中正确命题的序号是　　　　.? 解析:命题①中,直线m,n不一定相交,即命题①不正确;由两相交直线m,n可确定一平面且同时平行于α、β,得α∥β,故②正确.③命题存在n?β情况.即命题③不正确;由线面关系可知命题④正确.则正确命题的序号为②④. 答案:②④ 3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行吗? (平行) 一．借助几何模型判断与平行相关命题 【例1】 已知m,n是两条不同直线,α,β, 是三个不同平面,下列命题中正确的是(　　) (A)若m∥α,n∥α,则m∥n (B)若m∥n,n?α,则m∥α (C)若m∥α,m∥β,则α∥β (D)若α∥β,α∥,则β∥ 解析:m,n平行于α,m,n可以相交也可以异面,如图中正方体 的棱A1B1,B1C1都与底面ABCD平行, 但这两条棱相交,故选项A不正确; 在正方体中AB∥A1B1,A1B1?平面A1B1BA, 而AB不平行于平面A1B1BA,故B错; 正方体的棱B1C1既平行于平面ADD1A1,又平行于平面ABCD,但这两个平面是相交平面,故选项C不正确;由平面与平面平行的传递性,得D正确.故选D. 变式训练11:已知直线a、b和平面α、β、,且a?α,b?β,则平面α∥平面β的一个必要不充分条件是(　　) (A)a∥β,b∥α (B)a∥b (C)a∥,b∥ (D)a⊥,b⊥ 解析:用正方体模型分析可得四个答案均不