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第5节　椭　圆 一、椭圆的定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫作椭圆的焦距. 质疑探究1:在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a|F1F2|,则动点的轨迹如何? 提示:（1）当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2;（2）当2a|F1F2|时动点的轨迹是不存在的. 练习 1.设P是椭圆上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(　D　) (A)4 (B)5 (C)8 (D)10 解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2| =2a=2×5=10. 故选D. 二、椭圆的标准方程及其简单几何性质 椭圆的标准方程及其简单几何性质 条件 2a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c0 标准方 程及 图形 +=1(ab0) +=1(ab0) 范围 |x|≤a;|y|≤b |x|≤b;|y|≤a 对称性 曲线关于x轴、 y轴、原点对称 曲线关于x轴、 y轴、原点对称 顶点 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b) 长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0) 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=∈(0,1) 练习 1.已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,则椭圆的标准方程为(　C　) (A) +y2=1 (B)x2+=1(C) +=1 (D) +=1 解析：由题意,c=1,e==, ∴a=2, ∴b==, 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 +=1.故选C. 2.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为(　C　) (A)9 (B)1(C)1或9 (D)以上都不对 解析:由题意知b=3, 又e===,故a=5. ∴c==4, ∴焦点F到长轴的一个端点的距离为1或9.故选C. 一．椭圆的定义及标准方程 【例1】 (1)(徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C: +=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=　　　　.? (2)已知椭圆+=1(ab0)的长轴的一个端点是A(2,0).直线l经过椭圆的中心O且与椭圆相交于B、C两点,·=0,|-|=2|-|,则椭圆的方程为　　　　.? 解析：(1)设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 ∴2r1r2=(r1+r2)2-=4a2-4c2=4b2, ∴=r1r2=b2=9,∴b=3. (2)由已知得a=2, 又·=0, |-|=2|-|, 所以AC⊥BC,|BC|=2|AC|,而|OB|=|OC|, 所以|CO|=|CA|, 即△COA是等腰直角三角形, 又|OA|=2,于是可以求得C(1,1)或C(1,-1), 代入椭圆方程可求得b2=, 故椭圆的方程为. 答案：(1)3　(2) 变式训练11:(惠州调研)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为(　　) (A) (B) (C) (D) 解析：依题意设椭圆G的方程为 (ab0), ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12, ∴2a=12,∴a=6. ∵椭圆的离心率为, ∴=, ∴=,解得b2=9, ∴椭圆G的方程为. 故选C. 二．椭圆的几何性质 【例2】已知F1,F2是椭圆 (ab0)的左、右焦点,过F1的直线与椭圆相交于A,B两点,若·=0,| |=||,则椭圆的离心率为(　　) (A) - (B) -(C) -1 (D) -1 解析：在Rt△ABF2中,设AF2=m, 则AB=m,BF2=m, 所以4a=(2+)m, 又在Rt△AF1F2中,AF1=2a-m=m,F1F2=2c, 所以(2c)2=+m2=m2, 所以椭圆的离心率e===-.故选A. 三．直线与椭圆的位置关系 【例3】椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,短轴长为、离心率为,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且=3. (1)求椭圆方程; (2)求m的取值范围. 解：(1)设椭圆C: (ab0), 由条件,知2b=,=, 又c2=a2-b2,∴a=1,b=c=. ∴椭圆C的方程为y2+=1. (2)由题意设直线l的方程为y=kx+m,与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 由得 (k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0, Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)0,(*) x1+x2=,x1x2=. ∵=3,∴-x1=3x2, ∴ ∴3(x1+x2)2+4x1x2=0, ∴3+4×=0. 整理得4k2m2+2m2-k2-2=0, 当m2=时,上式不