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PAGE  PAGE 55 第6章 静电场 习题6—1解用图 6-1两个电量都是+的点电荷，相距，连线中心为，今在它们连线的垂直平分线上放置另一点电荷，与相距，求（1）所受的力；（2）放在哪一点时所受的力最大,是多少? 解 如解用图，以点为原点，建立直角坐标系 （1）点电荷所受的力 将，，代入上式并化简 故 （2）若点电荷在r处受力最大，则 即 解得 此时 6-2 三个点电荷的带电量均为Q，分别位于边长为a的等边三角形的三个角上，求在三角形重心应放置一电量为多少的点电荷，系统处于平衡状态。 习题6-2解用图 解 如解用图，以电荷a为例来讨论，设放置的电荷为,b对a的作用力为，c对a的作用力为，和的合力为，q对a的作用力为，则 , ，由 得 解得 不难看出，三个顶点上的点电荷对的合力为零，所以整个系统处于平衡状态。 6-3 设边长为a的正方形的四角上放有4个点电荷如图，正方形中心点为O，P点距O为x（xa），求P点的电场强度。 习题6-3图 解 如图，可将左边上下两个电荷看成一个电偶极子，右边上下两个电荷看成一个电偶极子。利用电偶极子中垂线上的电场强度公式，可知P点处的电场强度的方向垂直于OP，方向向上。P点处的电场强度的大小为 6-4 一均匀带电直线长为，线电荷密度为。求直线的延长线上距中点o为）处P点的场强。 习题6-4解用图 习题6-4图图 解 如解用图所示，取中点为轴原点，电荷元 在点的场强为 整个带电直线在点的场强为 方向沿x轴正向。 6-5 如图所示，两根平行长直导线间距为，一端用半圆形线连起来。设全线上均匀带电，电荷线密度为，求圆心处的电场强度。 习题6-5图 解 方法一 如解用图1，考虑对顶角为所对应的电荷元和，则在圆心处产生的电场强度 在圆心处产生的电场强度 即 ,易见两者方向相反，所以合场强为零。又由于此结果与无关，所以对任意一对对顶角为所对应的电荷和在圆心处产生的合场强都为零。所以全线电荷在圆心处的电场强度为零。 习题6-5解法1图 习题6-5解法2图 方法二 由教材例6-4与6-5的结果及场强叠加原理 习题6-6图 6-6如图，一个细的带电塑料圆环半径为，所带电荷线密度为和有，试求圆心处的场强。 解 在如解用图所示的直角坐标系中，电荷元 在圆 心处所产生的电场强度的大小为 习题6-6解用图 则沿x轴和y轴的两个分量分别为 习题6-7图 6-7 图中电场强度的分量为式中设。试计算（1）通过立方体表面的总电通量；（2）立方体内的总电荷量。 解 已知电场强度为沿x方向的非均匀电场，因此，通过立方体的上、下、前、后四个面的法线与电场强度垂直，从而电通量为零，而与x轴垂直的左（面1）、右（面2）两个侧面的电通量不为零。 （1） （2）由高斯定理得 6-8 实验证明，地球表面上方电场不为零，晴天大气电场的平均场强约为，方向向下，这意味着地球表面上有多少过剩电荷？试以每平方厘米的额外电子数来表示。 解 设想地球表面为一均匀带电球面，总面积为，则它所总电量为 单位面积带电量为 单位面积上的额外电子数为 6-9 内外半径分别为和的两无限长共轴圆柱面，内圆柱面带均匀正电荷，线密度为，外圆柱面带均匀负电荷，线密度为，求空间的电场分布。 习题6-9解用图 解 由对称性分析可知，分布具有轴对称性，即与圆柱轴线距离相等的同轴圆柱面上各点场强大小相等，方向均沿径向。 如解用图，作半径为，高度为、与两圆柱面同轴的圆柱形高斯面，则穿过圆柱面上下底的电通量为零，穿过整个高斯面的电通量等于穿过圆柱形侧面的电通量。 若，，得 若， 得 若，得 (垂直中心轴线向外) 6-10 有均匀带电球体，半径为，电量为，求球内外场强。 解 电荷分布具有球对称性，所以电场分布也具有球对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O为球心的任意球面上各点的大小相同。如解用图，以O为球心，过P点作半径为的高斯球面S。 习题6-10解用图