第6讲离散型随机变量的均值与方差.docVIP

第6讲　离散型随机变量的均值与方差 【2013年高考会这样考】 1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题． 【复习指导】 均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．　 　 基础梳理 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 2．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 两个防范 在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)． 三种分布 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； (3)若X服从超几何分布， 则E(X)＝n. 六条性质 (1)E(C)＝C(C为常数) (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数) (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2 (4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2) (5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2 (6)D(aX＋b)＝a2·D(X) 双基自测 1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D．2 解析　由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1. s2＝ ＝2. 答案　D 2．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B．4 C．－1 D．1 解析　E(X)＝－＋＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 答案　A 3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为(　　)． A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 解析　x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6. 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4. 由联立解得x＝0.2，y＝0.4. 答案　A 4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(　　)． A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 解析　X～B(n，p)，E(X)＝np＝1.6， D(X)＝np(1－p)＝1.28， 答案　A 5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出： ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15 该随机变量ξ的均值是________． 解析　由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 答案　8.2 　　 考向一　离散型随机变量的均值和方差 【例1】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1和B1 A2和B2 A3和B3 现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y (1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)． [审题视点] 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望． 解　(1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0. P(X＝3)＝××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝0)＝××＝； 根据题意X＋Y＝3，所以 P(Y＝0)＝P(X＝3)＝，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝. X的分布列为 X 0 1 2 3 P