第一章坐标法的简单应用.docxVIP

坐标法的简单应用 §1 笛卡尔坐标系 （一） 确定平面上点的位置 我们想象一个四周无限延伸的平面，该平面上所有的点都是完全一样的：其中的一个点没有不同于另外的一个点的任何特征。所以我们不能确定平面上点的位置，就是不能描绘平面上任何一个点的位置，使它不与其他点相互混淆。 在平面上确定点的位置的这种方法称为卡笛卡尔直角坐标系。 它是伟大的法国哲学家和数学家笛卡尔（1596-1650）所发明的。 笛卡尔发表了哲学论文‘方法论’，其中有三篇附录：‘光学’、‘流星学’和‘几何学’。笛卡尔在这些附录中结合着光学、大气现象和几何学运用了一般的科学方法，发展了方法论。被公认为是解析几何学的创始作品。虽然有法国数学家皮叶尔·费尔马在1636年发表了关于平面与空间的研究论文，其中含有解析几何学的方法，但根据许多因素来看，笛卡尔的作品的确是为了解析几何学的发展而出发的。 我们研究的坐标系称为直角坐标系，因为两轴OX与OY组成直角，笛卡尔的斜坐标系是可能的，但本书内不采用。 轴OX与轴OY称为坐标轴，轴OX称为横坐标轴。而轴OY称为纵坐标轴。今后我们把横坐标轴简称为‘X轴’，而把纵坐标轴简称为‘Y轴’。点O叫作坐标原点，或简称为原点。 坐标轴把整个平面分成了四个部分。这些部分称为象限。若从坐标原点引两轴与其正方向，这样所得到的那个象限称为第一象限或第一正坐标角。其余各象限的次序按照反时针方向标记。 如果点在第一象限内，两个坐标都是正的；在第二象限内横坐标是负的，而纵坐标是正的；在第三象限内两坐标都是负的；在第四象限内横坐标是正的，而纵坐标是负的。 于是，每一个象限对应着坐标符号的组合，如下表所示： 象 限横坐标符号纵坐标符号Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ+ - - ++ + - -除在象限内的点以外，还有在象限边界上的点，就是在坐标轴上的点。如果点在横坐标轴上，纵坐标就等于零；如果点在纵坐标轴上，横坐标就等于零。坐标原点的两个坐标都等于零。 当坐标已知时，总可作出点。例如求作点M（x，y）。从坐标原点沿横坐标轴取x个单位（向右取或向左取，依照x是正或负来决定）。在所取的点上作横坐标轴的垂直线，且在此垂直线上取y个单位（向上取或向下取，依照y是正或负来决定）。这样作出以后，就得到所求的点M(x，y)。这里y不在纵坐标轴上截取，而直接在垂直于横坐标轴的垂线上取点。 我们强调指出，坐标是抽象的数，这在以后是很重要的。这些数的绝对值表明从坐标轴到点的距离（距离如同长度永远是正量），而它们的符号指示线段的方向。 从坐标原点到任意一点M的向量称为此点的向径。向径的长我们通常用希腊字母ρ表示：ρ= OM。 利用向径的概念可以给点的坐标以新的定义：点的坐标是其向径在坐标轴上的射影，如果点M的坐标为已知，它的向径的长度就可以按照比法高尔定理来确定。ρ=+x2+y2 。在根号前取+号，因为ρ（向量的长）永远是正的。 在书中常常把ρ叫做向径。尽管这是不精确的：因为它不是向径，而是向径的长度，可是为了简单，并且为了和通过的术语一致，我们有时也就是这样表示。 （一） 向量在坐标轴上的射影 我们现在解决下面的问题。 已知两点A1（x1，y1）与A2（x2，y2），从而向量A1A2就被确定。现在确定向量在坐标轴上的射影。以P1与P2顺次表示点A与A在X轴上的射影，以Q1与Q2表示在Y轴上的射影。就有： x=P1P2=P1O+OP2=-x1+x2=x2-x1 y=Q1Q2=Q1O+OQ2=-y1+y2=y2-y1 就是，向量在坐标轴上的射影等于该向量终点坐标减去起点坐标（横坐标或纵坐标要看投影到哪一个轴上来决定）。在此公式中不得调换向量的终点和起点。 公式的结论，用以前建立的有向线段的性质为基础，而不依赖于图形，这公式对向量A1A2的任何位置都成立。 §2 利用坐标法解决简单问题 两点间的距离 我们现在解决下面的问题：已知两点A1和A2；确定它们之间的距离。 在解析几何学里，点永远有它自己的坐标，因此所讲的问题可以写成这样：已知点A1与A2的坐标；计算它们之间的距离。 在解析几何学里，所有的问题都是用计算来解决，而不是用图形解决（虽然在推演公式时，有时我们也利用图形）。 于是，设已知点A1（x1，y1）与A2（x2，y2）。用d表示A1A2的长。数x1、y1、x2、y2是已知的，d是未知的。 为了求距离d，可以作出矩形A1CA2B。它的边长等于向量A1A2在坐标轴上射影的绝对值，而A1A2是对角线。 于是d=+x2-x12+y2-y12。 公式给出了两点间的距离。这个距离不依赖于哪一个点作为第一个，哪一个作为第二个。因此，如果把公式的x2-x1写成x1-x2或者把y2-y1写成y1-y2，那么d应当不改变。则距离不改变， （二）向量对坐标轴的倾斜角 设已知两点A1