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第九讲 立体图形（教师版） 1、有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字。但全部积木的表面总面不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。 解：把每一块积木锯三次，锯成8块的小立方体 。这样，每锯一次便得到两个大截面，使表面积增加倍，锯三次使截面增加3×＝1（倍），因此全部的小积木的表面总面积就比原积木表面总面积增加一倍。 2、下图是正方体的11种展开图和2种伪装图（即它们不是正方体的展开图）。请你指出伪装图是哪两个？ 解：无论哪一个图中都有六个小正方形，都好象 有道理，但当我们把相邻两边注意拼合后，不能变成正方体的是（10）和（12）。这两个图形，都是有五面在拼合时不成问题，但是最后一面总是挤在外面而成不了正方体。 3、下图所示为一个棱长6厘米的正方体,从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体,求剩下的体积是原正方体的百分之几?（保留一位小数）。 解：正方体的体积：63＝216（平方厘米） 圆锥体积：×3.14×（×6＝56.52（立方厘米） 剩下体积占正方体的几分之几？ （216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％ 答：剩下的体积是原正方体的73.8％。 4、一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如右图，已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米。求原来钢材的体积和侧面积。 解；3014.4×2＝6028.8（平方厘米） 960×π＝3014.4平方厘米 答：原钢材面积是6028.8立方厘米，侧面积是3014.4平方厘米。 5、在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中，取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高。 解：下降部分水的体积： 3.14××0.5＝628（立方厘米） 铸件的高：628×3÷［3.14×］＝24（厘米） 答：铸件的高是24厘米。 6、如右图是一个正方体，H、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点。现沿三角形GFH的面锯掉一个角，问锯掉这块的体积是整个立方体体积的几分之几？ 解：将正方体沿各棱中点，依水平和垂直方向切开，可得8个相同的小正方体，每个小正方体又可切成2个小三棱柱体，每个小三棱柱体的体积是等底等高三棱锥(即锯掉的一角)体积的三倍．因此锯掉的这块体积是整个正方体的体积的． 7、一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装着水，水中放置一个底面半径是9厘米，高20厘米的铁质圆锥体，当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？ 解：设水下降x米，则π×102×x=×π×92×20 解得x＝5.4 8、有A、B两个容器，如下图，先将A容器注满水，然后倒入B容器，求B容器的水深。（单位：厘米） 解：设B容器的水深h厘米,则 ×π×62×10=π×52×h 解得h＝4.8厘米。 9、从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体。求这个几何体的表面积和体积。 解：因为底面半径为3厘米，高为4厘米，试验挖掉圆锥的母线长等于＝5（厘米），故它的表面积＝π×3×5+2π×3×4+π×32＝48π（平方厘米） 它的体积＝π×32×4－×π×32×4＝24π（立方厘米） 10、有一个立方体，边长是5，如果它的左上方截去一个边长分别是5，3，2的长方体（如右图），那么，它的表面积减少了百分之 。（1993年小学数学奥林匹克初赛试题） 解：原立方体的表面积是5×5×6＝150，减少的表面积是两块3×2的面积，即3×2×2＝12，试验减少的百分比是12÷150＝8％ 11、有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水，甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？ （第二届“华杯赛”初赛试题） 解：两个圆柱直径比是1：2，所以底面面积的比是1：4，铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的，即 2×＝0.5（厘米） 12、有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的，乙的棱长是丙的棱长的。如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体（每种至少用一块）。那么最少需要这三种木块一共多少块。（北京市第十一届“迎春杯”决赛试题） 解： 设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3．显然，大正方体棱长不可能是4，否则无法放下乙和丙各一个．于是，大正方体的棱长至少是5．事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体