第二章多面体与旋转体几何体求积复习.docVIP

高中立体几何教案 第二章 多面体与旋转体 几何体求积复习课教案 教学目标1．使学生能熟练地掌握和运用简单多面体和旋转体的求积（面积和体积）公式；2．进一步培养学生研究空间问题的转化能力；3．要求学生在掌握好解多面体和旋转体问题基本方法的基础上，注意方程思想、割补思想和等积变换思想的指导作用，以期提高综合运算能力；4．通过对典型例题的分析，培养学生一题多解的发散性思维能力．教学重点和难点本节课的教学重点是突出元素度量关系的分析，加强综合运算的规律与方法的指导．教学难点是诱导学生分析几何体的空间结构，并根据题目中所给几何体的结构特点，去揭示元素之间的内在联系．教学设计过程一、复习讨论师：研究简单几何体的求积运算问题是立体几何第二章的中心议题，也是以后我们日常生活中经常要接触到的问题．今天，我们在复习旧知识的基础上，进一步总结运算规律，寻找解决问题的办法．（板书课题）师：请同学们一起来回忆多面体和旋转体的求积（侧面积和体积）公式．（放幻灯片，引导学生回忆，学生口答公式，最后给出正确答案．） （注：其中C，C＇及S，S＇分别为正棱台上、下底面周长和面积，h，h＇分别为多面体的高和斜高，r，r＇分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长，R为球的半径）师：为了能使用公式，我们还必须要先求出公式中所需的几何体基本元素的数值大小．那么，在柱、锥、台、球的性质中，哪些性质较多地集中了它们基本元素（如：侧棱、高、斜高、母线等）间的相互关系？（幻灯分别打出棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台和球的示意图，帮助同学们寻找和归纳．讨论后，再请几位同学上讲台，边指图边报告讨论结果）　　　　　　　　　　　　　　　 生甲：在棱柱中，可以通过侧面和过不相邻的两条侧棱的截面即为对角面来把棱柱中的基本元素纳入同一平面．生乙：在正棱锥中，有2个特征直角三角形起到了把锥体中的基本元素联系在一起的作用．它们是：由棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影所组成的直角三角形（如图Rt△SOD）；由棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成的直角三角形（如图Rt△SOA）．生丙：（补充）棱锥中，Rt△SAD和Rt△OAD也有一样的作用．生丁：因为棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到的，所以在正棱台中有3个特征直角梯形和1个直角三角形（如图：O1，O2为上、下底面中心，O1E⊥A1B1，O2F⊥AB，直角梯形有O1O2FE，O1O2AA1，A1EFA，直角三角形是△O2FA）生：在旋转体中是它们的轴截面．师：（归纳与讲评）刚才几位同学的发言都很好．无论是多面体，还是旋转体，它们的基本元素往往都集中在几个特征直角三角形、几个特征直角梯形、平行四边形和圆中，掌握了这一规律，我们在以后的解题过程中，只要抓住具体问题的特点，根据基本关系的分析，就可以把空间问题转化为解各个具体的三角形、梯形、平行四边形或圆了．　　　　　　　　　　　　　　 二、课堂练习，例题分析例1 （1）正四棱台的两个底面的边长分别为a和b（a＞b），侧棱和底面的夹角为2，则它的侧面积是______．（2）圆台上、下底面半径分别为r，R，平行于底面的截面把圆台分成侧面积相等的两个部分，则以此截面为底面，圆台所在的圆锥的顶点为顶点的圆锥与该圆台的体积比为______．（教学手段采用先练习，教师巡视，后讲评的方法）　　 　 研究第（2）小题．师：我们还能否采用第（1）小题的方法“缺什么，求什么”吗？生：此题中的未知待求元素太多，根本没法直接求出其中的一个元素．师：那该怎么办？生：可以试一试设未知数，列方程求解．师：设什么？如何列方程？生：平行于底面的截面是个关键．我想设此截面半径为x．以r，x分别为上下底面圆半径的圆台的母线为l1，以r，R为上下底面圆半径的圆台的母线为l，先求出x．在圆台的轴截面中，做A2B⊥AO交A1O1于B1，那么△A2A1B1∽△A2AB，依题意可得　 　 　　 师：大家可以看到这三道题都是对单个的多面体或旋转体的求积计算．下面，我们转入对比较复杂的由多面体和旋转体复合放置在一起的“组合体”的研究．例2 一个正方体所有的顶点都在球面上，如果这个球的体积为V，求正方体的棱长．师：首先；我们怎样把这类问题转化为平面图形的计算？（同学们较少接触到此类问题，还需继续启发引导）师：在旋转体中它的主要元素的关系集中在轴截面中，球的主要元素在它的大圆中；而正方体的主要元素关系在各个侧面及对角面上，我们能否做一个截面，使得二者兼顾？师：过正方体一个面作截面行吗？生：（讨论）不行．因为这样截得的是球的小圆．师：由对称性可知，正方体的中心一定就是球的中心，要得大圆必须过球心作截面，过球心作一个平行于正方体一个面的截面行吗？生：（讨论）也不行，因为这样