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第二讲 同角三角函数的关系式及诱导公式 课前预习 1．已知是第四象限角，则的值是（ ） A. B. C. D. 解：C. 2.化简的结果为（ ） A. B. C. D. 解：C. 3.等于（ ） A. B. C. D. 解：B. 4.已知，，则的值是（ ） A. B. C. D.或 解：B. 5.已知，那么的值是____________. 解：填.. ◆课堂典例精讲 例1：已知，，则的值等于( ) A. B.1 C. D. 分析：此题为多个函数值的求和问题，我们需要从中寻找规律，从而简化运算。 解：当整数n除以3 的余数分别为0、1、2时，角有6条、3组互为反向延长线的终 边，而终边互为反向延长线的两角的正弦值互为相反数，∴，故 ，又，，，，∴，故选C. 反思：本题旗帜鲜明地昭示了三角函数的“个性”——理性思维，从茫茫头绪中摸索规律是三角函数内容带给我们的宝贵财富，而其中的周期性规律是这座宝藏中的一颗璀璨的明珠，领悟这些弦外之意、话外之意，学习三角函数的程度就不可同日而语了. 例2：已知，求下列各式的值： （1）；（2）. 分析：本题主要考查同角三角函数关系的应用.如果直接求出和的值再代入，显然较繁；若能合理利用商数关系可简化解题. 解：（1）法1：由，得，即， 原式. 法2：原式. （2）原式 反思：“弦化切”、“切化弦”、“1的代换”是三角恒等变形中常用的解题技巧. 例3：化简 分析：本题主要考查诱导公式的应用，但注意针对进行讨论. 解：①当时，原式 ②当时，原式 反思：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与诱导公式中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论. 例4：已知，试确定使等式成立的角的集合 分析：对所给等式的左边进行变形，在变形的过程中注意要恒等变形并不断将结果与右边对比. 解：∵ == 又∵， ∴， 即得或 所以角的集合为：或 反思：千万不要将舍去了！不然就漏解了！ 例5：是否存在一个实数，使方程的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 分析：本题主要考查同角三角函数关系和诱导公式，找出两锐角的正弦之间的关系是解决本题的关键所在. 解：设直角三角形的两个锐角分别为，则是方程的两根.，根据韦达定理得 ，解得或 经检验或（有一根为负根）均不符合题意 所以这样的实数不存在. 反思：利用韦达定理来解题要注意有两个大前提：二次项系数不为零与判别式不小于零. ◆课后练习 A 基础练习 1、的值是 ( ) A． B． C． D． 是三角形的内角，且，则此三角形一定是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 解：D. 3、已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 解：C.由题意可知，. 4、已知是第二象限角，则 解：填-1. 5、已知，求的值 解：由得 故. B 能力提升 1、在中，以下关系式成立的是（ ） A. B. C. D. 解：C. 2、已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 解：D.由题意知. 3、若sinθ= , cosθ= ,其中θ为第二象限的角,则m的取值范围是 ( ） Am = 8 B3m9 Cm=0或m=8 D－5m 9 解：A.根据平方关系及角在第二象限时正、余弦的符号即可求出. 4、已知，则_____________. 解：填.原式. 5、已知， 且，求和的值. 解：将所给两式变形可化为……①，……②， 则①2+②2，得，， 当时，；当时，.